|
De '''wetten van Kepler''' zijn een drietaldrie [[natuurkunde|natuurkundige]] wetten, die de bewegingen van de [[planeet|planeten]] beschrijven,. Ze zijn opgesteld door [[Johannes Kepler]]. Ze maken deel uit van de [[klassieke mechanica]]. Kepler publiceerde de eerste twee wetten in zijn ''[[Astronomia Nova|Astronomia nova seu Physica coelestis]], '' (Nieuwe Astronomie of Hemelphysica)'', van 1609, en de derde wet in ''[[Harmonice Mundi]], '' (Wereldharmonie)'', in 1619.
Het punt in de baan waar een planeet het dichtst bij de zon staat heet het [[perihelium]]. Het verste punt heet het [[aphelium]]. ▼
== Eerste wet ==
De eerste wet van Kepler zegt dat alle [[planeet|planeten]] zich rond de [[zon]] bewegen in [[ellipsEllips (wiskunde)|elliptische]] banen, waarbij de zon zich in een van de twee brandpunten van de ellips bevindt. UitVolgens de eigenschappendefinitie van een ellips volgt datis de som van de afstanden van een punt op de ellips, dus van de planeet, naar beide brandpunten overal op de ellips gelijk is.
== Tweede wet ==
[[Bestand:Perkenwet.png|thumb|right|350px|De perkenwet:<br als/> Wanneer een planeet in dezelfde tijd van A naar B gaat als van C naar D, zijn de gearceerde oppervlakken even groot]]
Deze wet heet ook de perkenwet. De snelheid van een planeet in haar [[omloopbaan]] verandert zodanig dat in gelijke tijdsintervallen de oppervlakte, bestreken door de verbindingslijn, door de (voerstraal), tussen de zon en de planeet, gelijk is. De voerstraal beschrijft dus per tijdseenheid een constant oppervlak, ook welof een ''perk'' genoemd, vandaar de naam ''perkenwet''.
In het getoonde voorbeeld is de gemiddelde baansnelheid, (de tangentiële snelheid), van de planeet in het interval AB dus kleiner dan in het interval CD.
De perkenwet is een meetkundige formulering van de ''[[wet van behoud van impulsmoment]]''. Als ''v'' de snelheidsvector van de planeet voorstelt, en ''s'' de positievector van de planeet ten opzichte van de zon, dan is het [[impulsmoment]] gelijk aan het vectoriële [[kruisproduct]] ''s'' × ''v''. Het oppervlakte van het grijze segment in de figuur is evenredig met de integraal van dat impulsmoment over een gegeven tijdsinterval.
De perkenwet geldt bij elke [[centrale kracht]], omdat een centrale kracht geen [[Moment (mechanica)|moment]] levert, en dus het impulsmoment niet verandert.
▲Het punt in de baan waar een planeet het dichtst bij de zon staat heet het [[perihelium]]. Het verste punt heet het [[aphelium]].
== Derde wet ==
Het kwadraat van de omlooptijd (''T'' ) van een planeet is evenredig met de derde macht van haar halve lange (''r'') as, ofwel:
:<math>\frac{T^2}{r^3} = \mbox{ constant.}</math>
Deze wet wordt ook wel de harmonische wet genoemd. Kepler publiceerde de wet pas tien jaar na de andere twee.
Uit de [[wetten van Newton]] is de constante aan de rechterzijde te berekenen. UitDoor dezede berekeningwederzijdse blijktinvloed van de vermeendezwaartekracht 'constante'van nietde helemaalzon constanten tede zijn,planeet wantop deelkaar varieert deze constante iets in waarde. De waarde is enigszins afhankelijk van de massa van de planeet. Alleen als de planeet veel lichter is dan de ster waarom zij draait, geldt de derde wet van Kepler als speciaal geval.
Meer bepaald geldt dat:
:<math>\frac{T^2}{ar^3} = \frac{4 \pi^2}{G(M+m)}</math>
waarin ''M'' de massa van de ster is, ''m'' de massa van de planeet, ''G'' de universele [[gravitatieconstante]], en ''ar'' de halve lange as van de elliptische baan.
IndienWanneer de massa van de planeet te verwaarlozen is vergeleken bij de massa van de ster, en de baan cirkelvormig is met straal ''r'', is de wet is als volgt te herleiden:
:''F''<sub>c</submath>F_c = ''F''<sub>gF_g</submath>
</br>
(met ''F'':<submath>cF_c</submath> =de [[middelpuntzoekende kracht]] en ''F''<submath>gF_g</submath> =de gravitatiekracht), dus:
</br>
:<math>\frac{mv^2}{r} = \frac{GmM}{r^2}</math>
(waarin ''v'' is de snelheid van de planeet is.)
:<math>\frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2}</math>
dus:
:<math>v^2 = \frac{GM}{r}</math>
:<math>v^2r = GM</math>
</br>
:<math>(\frac{2 \pi r}{T})^2 r = GM</math> (substitueer:Met <math> v=\frac{2\pi r}{T}</math>) is
</br>
:<math>(\frac{42 \pi^2 r^2}{T})^2} r = GM</math>
</br>
:<math>\frac{r^3}{T^2} =\frac{ GM}{4\pi^2}</math>
</br>
:<math>\frac{T^2}{r^3} = \frac{4 \pi^2}{GM}</math>
</br>
== Vergelijking van Kepler ==
Uit de eerste twee wetten leidde Kepler ook een praktische bewegingsvergelijking af, die in de [[hemelmechanica]] bekendstaat als de [[vergelijking van Kepler]]. Deze vergelijking verklaartgeeft de niet-uniforme bewegingsnelheid van de planeet in haarzijn baan om de zon als functie van zijn plaats in termenzijn baan om de zon. Daarbij wordt gebruik gemaakt van een wiskundige hulpgrootheidgrootheid, de [[excentrische anomalie]].
== Resultaten ==
Kepler formuleerde de naar hem genoemde wetten uitsluitend op grond van uitsluitend empirisch onderzoek doordat hemzelfhijzelf en doordaarvoor zijn voorganger en leermeester [[Tycho Brahe]], diehadden gedaan. Brahe beschikte over de nauwkeurigste waarnemingsinstrumenten van zijn tijd bezat. De wetten speelden een belangrijke rol in de acceptatie van het [[heliocentrismeHeliocentrisme|heliocentrisch]] wereldbeeld van [[Nicolaus Copernicus|Copernicus]] en betekenden bovendien een doorbraak in het denken over het heelal, omdat het idee dat planeten zich altijd in [[cirkel]]s bewogen werd verworpen.
[[Isaac Newton]] toonde later aan dat de wetten van Kepler verklaard konden worden verklaard met de naar hem genoemde [[Wettenwetten van Newton]], die de basis van de [[klassieke mechanica]] vormen, in combinatie met zijn [[Zwaartekracht|gravitatietheorie]], die postuleerde dat tussen twee voorwerpen een kracht bestaat, evenredig aan het product van de massa's, en omgekeerd evenredig aan het kwadraat van hun onderlinge afstand.
== Zie ook ==
| 