Scheidingsaxioma: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k →T_{3½}: Opmaak kan netter maar is in ieder geval correct |
|||
Regel 44:
Er bestaan voorbeelden van niet-normale, reguliere ruimten.
== <math>T_{3*(1/2)}</math> ==
[[Pavel Urysohn]] bewees dat in een normale ruimte steeds de volgende stelling geldt: voor ieder punt <math>x</math> en voor iedere gesloten verzameling <math>G</math> waar <math>x</math> niet toe behoort, bestaat er een continue afbeelding van de hele ruimte <math>X</math> naar het gesloten interval <math>[0,1]</math> die <math>x</math> afbeeldt op <math>0</math>, en <math>G</math> op <math>{1}</math>.
Niet alle ruimten waarin bovenstaande stelling geldt, zijn normaal. We noemen dergelijke ruimten [[Tychonov-ruimte]]n of [[Tychonov-ruimte|volledige, reguliere]] ruimten. Niet alle auteurs hanteren dezelfde benamingen. Er zijn auteurs die voor een volledige, reguliere ruimte niet het Hausdorff-axioma (<math>T_2</math>) eisen, en onder een [[Tychonov-ruimte]] een volledige, reguliere Hausdorff-ruimte verstaan.
De benaming <math>T_{3*(1/2)}F</math> voor deze ruimten volgt uit het feit (niet moeilijk te bewijzen) dat elke Tychonov-ruimte regulier is, dus <math>T_{3*(1/2)}</math> is minstens even sterk als <math>T_3</math>.
[[Metrische ruimte]]n zijn normaal, en voldoen dus meteen aan alle scheidingsaxioma's. Niet alle normale topologische ruimten kunnen verkregen worden uit een [[metriek]]; om [[Metriseerbare ruimte|metriseerbaarheid]] te garanderen moeten ook aftelbaarheidseigenschappen voldaan zijn (zie [[aftelbaarheidsaxioma]]'s).
| |||