Complexe vlak: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
|||
Regel 7:
Om die reden worden Arganddiagrammen vaak gebruikt om posities van de [[pool (complexe analyse)|polen]] en [[nulpunt (wiskunde)|nullen]] van een [[wiskundige functie|functie]] in de complexe ruimte te plotten. Een vermenigvuldiging met een complex getal met modulus 1 kan als een [[rotatie (meetkunde)|rotatie]] worden geïnterpreteerd. Het complexe vlak wordt vaak gebruikt om fysische processen te visualiseren. Zo wordt een harmonische [[trilling]] gezien als een [[cirkelbeweging]] om de oorsprong in het complexe vlak. De projectie op de x-as is het reële deel van de trilling, dat er in de tijd gezien uitziet als een [[Sinus en cosinus|sinus]] of [[cosinus]].
==Afspraken over de notatie ==
In de [[complexe analyse]] worden de complexe getallen gewoonlijk door het symbool ''z'' weergegeven. Een complex getal ''z'' bestaat uit een [[reëel getal|reëel]] (''x'') en een imaginair (''y'') deel:
:<math>z = x + iy \,</math>
waar {{math|i}} voor de [[imaginaire eenheid]] staat. In deze gebruikelijke notatie komt het complexe getal {{math|z}} overeen met het punt (''x'',''y'') in het [[Cartesisch coördinatenstelsel|Cartesische vlak]].
In het Cartesiaanse vlak kan het punt (''x'', ''y'') ook als volgt in [[poolcoordinaten]] worden gerepresenteerd.
:<math>(x, y) = (r\cos\theta, r\sin\theta)\qquad(r, \theta) = \left(\sqrt{x^2+y^2}, \quad \arctan\frac{y}{x}\right).\,</math>
In het Cartesiaanse vlak mag worden aangenomen dat de [[arctangens]] waarden aanneemt tussen -''π/2'' en ''π/2'' (in [[radiaal (wiskunde)]]radialen). Enige voorzichtigheid moeten worden betracht in de definitie van de ''reële'' arctangensfunctie voor de punten (''x'',''y'') wanneer ''x'' ≤ 0. In het complexe vlak nemen deze polaire coördinaten de onderstaande vorm aan
:<math>z = x + iy = |z|\left(\cos\theta + i\sin\theta\right) = |z|e^{i\theta}\,</math>
waar
:<math>|z| = \sqrt{x^2+y^2}; \quad \theta = \arg(z) = \frac{1}{i}\ln\frac{z}{|z|} = -i\ln\frac{z}{|z|}.\,</math><ref>Het kan worden aangetoond (Whittaker & Watson, 1927, ''Appendix''), dat alle bekende eigenschappen van de complexe exponentiële functie, de goniometrische functies, en de complexe logaritme rechtstreeks kunnen worden gededuceerd uit het [[machtreeks]]en voor ''e''<sup>''z''</sup>. Met name kan de hoofdwaarde van log''r'', waar |''r''| = 1, worden berekend zonder verwijzing naar een meetkundige of goniometrische constructie.</ref>
==Voetnoten==
{{references|85%}}
{{Commonscat|Complex plane}}
| |||