Booleaanse algebra: verschil tussen versies

Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Addbot (overleg | bijdragen)
k Verplaatsing van 37 interwikilinks die op Wikidata beschikbaar zijn op d:q173183
Madyno (overleg | bijdragen)
APK
Regel 4:
Zo is het logische "[[uitgesloten derde]]", dat stelt dat een uitspraak waar is of onwaar, equivalent met de regel dat de vereniging van een verzameling en z'n complement alle in het geding zijnde elementen bevat.
 
:<math>A \cup A^Cc = U</math>.
 
Complementair daaraan is de logische vaststelling dat een uitspraak en z'n ontkenning niet samen waar kunnen zijn. Dit wordt voor verzamelingen weerspiegeld in de regel dat een verzameling en z'n complement geen gemeenschappelijk element hebben.
 
:<math>A \cap A^Cc = \empty</math>.
 
De [[booleaanse operator]]en zijn genoemd naar de [[Verenigd Koninkrijk|Brit]] [[George Boole]], die ze in het midden van de [[19e eeuw]] invoerde. BooleaanseEen booleaanse algebra is een poging om algebraïsche technieken te gebruiken teneinde te kunnen omgaan met logische uitdrukkingen. De booleaanseBooleaanse algebra's vindtvinden bijvoorbeeld zijn toepassing in het samenstellen van [[digitaal|digitale]] [[elektronica|elektronische schakelingen]], zoals die onder andere in [[computer]]s worden gebruikt. In de praktijk kan men de werking ervan onder meer zien in sommige [[zoekmachine|zoeksystemen]] voor internetpagina's.
 
==Definitie==
Een '''Boole-booleaanse algebra''' bestaat uit een verzameling ''A'', voorzien van twee [[binaire operatie|binaire bewerking]]en "en" (Engels: "''meet''") <math>\and</math> (logische ''ANDen''), "of"logische (Engels: "''join''"AND) en <math>\or</math> (''of'', logische OR), een [[unaire bewerking]] "niet" <math>\lnot</math> (logische ''NOTniet'', logische NOT), en twee elementen 0 (logische ''FALSEonwaar'', logische FALSE) en 1 (logische ''TRUEwaar'', logische TRUE):.
 
:{| class="wikitable"
!naam!!Engelse naam!!colspan=2|symbolen
|-
Regel 30:
 
Andere bewerkingen zijn:
:{| class="wikitable"
!naam!!Engelse naam!!symbool
|-
Regel 40:
|}
 
Er is sprake van een Boole-booleaanse algebra, indienals voldaan is aan de volgende [[axioma]]'s:
 
[[associativiteit]]
Regel 62:
:<math> a \and \lnot a = 0 </math>
 
De eerste drie paren axioma's, associativiteit, commutativiteit en absorptie, houden in dat het drietal <math>(''A'', <math>\and</math>, <math>\or)</math>) een [[tralie (wiskunde)|tralie]] is.
 
Uit de axioma's volgt dat in de [[partiële orde]]ning van het tralie 0 het kleinste element is en 1 het grootste element is. (Die partiële ordening wordt bepaald door a ≤ b te noemen als <math>a=a\and b</math>.)
 
Verder volgt uit de axioma's dat het complement ¬''a'' van een element ''a'' eenduidig bepaald is en dat:
Regel 91:
 
==Notatie==
Soms wordt vanwege een zekere mate van overeenkomst een "+" gebruikt voor <math>\or</math> en een "."<math>\cdot</math> voor <math>\and</math>. Voor wie bekend is met getallen[[algebra]], schept deze notatie verwarring, omdat deze symbolen, die ook in getallenalgebra worden gebruikt, hier een andere betekenis hebben.
: '''+'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;betekent ''OR'' (OF)
: '''·'''&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;betekent ''AND'' (EN)
: <math>\overline A</math> betekent ''NOT'' <math>A</math> (NIET)
Booleaanse algebra werkt met variabelen die slechts de waarden 0 en 1 aannemen. Voorbeelden van vergelijkingen:
 
<math>\begin{matrix} 1+1=1 \end{matrix}</math>
 
<math>\begin{matrix} A+B.C=(A+B).(A+C) \end{matrix}</math>
 
BooleaanseEen booleaanse algebra werkt met variabelen die slechts de waarden 0 en 1 aannemen. Voorbeelden van vergelijkingen:
<math>\begin{matrix} A+ \overline{A}.B=A+B \end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix} 1+1=1 \end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix} A+B.\cdot C=(A+B).\cdot (A+C) \end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix} A+ \overline{A}.\cdot B=A+B \end{matrix}</math>
 
Soms wordt ook een vierde booleaanse operator gehanteerd, de ''exclusive OR - XOR'' (EXCLUSIEVE OF, of [[exclusieve disjunctie]]), gedefinieerd door de regel
:: <math>A\oplus B=A.\cdot\overline B+B.\cdot\overline A</math>
(ook te schrijven als <math>(A \and \lnot B) \or (B \and \lnot A)</math>)
 
Regel 112 ⟶ 110:
 
==Voorbeelden==
De eenvoudigste Boole-booleaanse algebra bestaat slechts uit de elementen 0 en 1. De rekenregels volgen uit de axioma's:
:{|
|-
| width="100" |
Regel 148 ⟶ 146:
|}
 
Een ander voorbeeld van een Boole-booleaanse algebra wordt gevormd door de [[machtsverzameling]] van een gegeven verzameling ''U'', met de bekende bewerkingen vereniging, doorsnede en complement.
 
==Zie ook==