Formule van Euler: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k →Analytische methode: Opmaak wat verbeterd |
|||
Regel 11:
De formule van Euler is te bewijzen door middel van [[Afgeleide|differentiëren]]. Hiertoe herschrijven we de formule eerst:
:<math>\frac{\cos(x) + i \cdot \sin(x)}{e^{ix}} = 1</math>
We schrijven dit als een [[Functie (wiskunde)|functie]]:
:<math>f(x) \equiv e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x))</math>
Als we dit differentiëren krijgen we (Bij deze afleiding wordt gebruik gemaakt van de [[Productregel (afgeleide)|productregel]]):
:<math>\frac{df}{dx} = -i \cdot e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot \cos(x) )</math>
::<math> = e^{-ix} \cdot (sin(x) - i \cdot cos(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot cos(x) </math>
::<math> = e^{-ix} \cdot 0 = 0 </math>
De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie constant is:
:<math>f(x) = e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) = C</math>
Dus:
:<math>\cos(x) + i\cdot \sin(x) = C \cdot e^{ix}</math>
We kennen echter de waarde voor het geval dat <math>x = 0</math>, namelijk:
:<math>\cos(0) + i \cdot \sin(0) = C \cdot e^{i\cdot 0}</math>
:<math>1 + 0 = C \cdot 1</math>
Hieruit volgt dat <math>C = 1</math> en dus zien we dat inderdaad <math>e^{ix} = \cos(x) + i \cdot \sin(x)</math>.
| |||