Formule van Euler: verschil tussen versies

=== Analytische methode ===

De formule van Euler is te bewijzen door middel van [[Afgeleide|differentiëren]]. Hiertoe herschrijven we de formule eerst:

<math>\frac{\cos(x) + i \cdot \sin(x)}{e^{ix}} = 1</math>

Of in de vorm:

<math>f(x) \equiv e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) = 1</math>

Als we dit differentiëren krijgen we:

<math>\frac{df}{dx} = -i \cdot e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot \cos(x) )</math>

<math> = e^{-ix} \cdot (sin(x) - i \cdot cos(x)) + e^{-ix} \cdot (-\sin(x) + i \cdot cos(x) </math>

<math> = e^{-ix} \cdot 0 = 0 </math>

De afgeleide is dus 0. Dit betekent dat de functie <math>f(x) = e^{-ix} \cdot (\cos(x) + i \cdot \sin(x))</math> constant is. Laten we deze constante <math>C</math> noemen:

<math>\cos(x) + i\cdot \sin(x) = C \cdot e^{ix}</math>

We kennen echter de waarde voor het geval dat <math>x = 0</math>, namelijk:

<math>\cos(0) + i \cdot \sin(0) = C \cdot e^{i\cdot 0}</math>

<math>1 + 0 = C \cdot 1</math>

 

=== Taylorreeks ===