Cauchyrij: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
tegenvoorbeeld |
→Definitie: niet iedere Cauchyrij is convergent, dus anders geformuleerd |
||
Regel 11:
Deze definitie zegt in woorden dat hoe klein je ε ook kiest, je altijd een punt in de rij kunt vinden van waaraf de afstand tussen twee willekeurige elementen altijd kleiner is dan ε.
Voor een Cauchyrij gaat de afstand tussen twee opeenvolgende elementen (als punten in ''V'') dus zeker naar 0, maar dit is niet een voldoende voorwaarde, zoals blijkt uit het volgende tegenvoorbeeld.
Van de rij met <math>x_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k</math> worden de elementen <math>x_n</math> groter dan elk willekeurig getal, voor voldoende grote index ''n''. Deze rij is geen Cauchyrij, maar wel geldt: <math>x_n-x_{n-1}=\frac 1n\xrightarrow[\, \, \, n\to \infty \, \, \,]{} 0</math>.
Het begrip Cauchyrij speelt een rol in de definitie van een ''volledige'' metrische ruimte. Een metrische ruimte ''V'' wordt ''[[volledig (topologie)|volledig]]'' genoemd als elke Cauchyrij die binnen die verzameling definieerbaar is, [[convergentie (wiskunde)|convergeert]] (naar een limietwaarde die dus ook binnen die verzameling moet liggen). Het bekendste voorbeeld hiervan zijn de reële getallen; de verzameling <math>\mathbb{R}</math> van de reële getallen is gedefinieerd als de kleinste volledige metrische ruimte die de verzameling <math>\mathbb{Q}</math> van de [[rationaal getal|rationale getallen]] bevat. In <math>\mathbb{R}</math> is elke Cauchyrij dus convergent.
| |||