Isomorfisme: verschil tussen versies

In de [[abstracte algebra]], een deelgebied van de [[wiskunde]], is een '''isomorfisme''' ([[Grieks]]: ἴσος ''isos'' "gelijk", en μορφή ''morphe'' "vorm") een [[bijectie]]ve [[Afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] ''<math>f''</math> zodat zowel ''<math>f''</math> als zijn [[inverse]] ''f''<supmath>&nbsp;−1f^{-1}</supmath> [[Homomorfisme|homomorf]] zijn, dat wil zeggen, ''structuur-bewarendestructuurbewarende'' afbeeldingen.

In de meer algemene setting van de [[categorietheorie (wiskunde)|categorietheorie]] is een '''isomorfisme''' een [[morfisme]] ''<math>f'':'' X''→''\to Y''</math> in een categorie waarvoor er een "inverse" ''f''^{&nbsp;−1</supmath>f^{-1}\!:'' Y''→''\to X''</math> bestaat, met de eigenschap dat zowel fgeldt <supmath>&nbsp;−1}''f''^{-1}\!f =id<sub>X id_X</submath> als en ''ff''<sup>&nbsp;−1</supmath>ff^{-1} =id<sub>Y id_Y</submath> opgaat.

Informeel gesproken is een isomorfisme een soort van afbeelding tussen objecten, die een relatie laat zien tussen twee eigenschappen of operaties. Wanneer er een isomorfisme tussen twee structuren bestaat, noemennoemt men de twee structuren '''isomorf'''. Als men ervoor kiest om zekere details te negeren, die voortvloeien uit de manier waarop de structuren zijn gedefinieerd, zijn isomorfe structuren in zekere zin '''structureel identiek'''.

==Nut en Zinzin==

Isomorfismen worden in de wiskunde bestudeerd om verkregen inzichten met betrekking tot het ene fenomeen over te hevelen naar andere fenomenen. Als twee wiskundige objecten isomorf zijn, dan is elke eigenschap, waarvan de structuur bewaard blijft door een isomorfisme en die waar isgeldt voor ééneen van de twee wiskundige objecten, ook waargeldt voor het andere wiskundige object. Als er een isomorfisme kan worden gevonden van een relatief onbekend deel van de wiskunde naar een goed bestudeerd deelgebied, waar reeds vele stellingen bewezen zijn en vele methoden beschikbaar zijn om antwoorden te vinden, dan kan deze isomorfe functie worden gebruikt om problemen uit het onbekende deelgebied af te mappenbeelden naarop het deelgebied van de wiskunde, waar men reeds "vaste grond onder de voeten heeft" en waar de problemen dus makkelijkergemakkelijker kunnen worden begrepen en kunnen worden opgelost.

Isomorfismen kunnen het makkelijkstgemakkelijkst worden gedefinieerd door te kijken naar concrete situaties: