Vensterfunctie: verschil tussen versies

47 bytes toegevoegd ,  9 jaar geleden
formules properder; interpunctie; schrijfwijze(dB)
(Spellingsfout: Hannning -> Hanning)
(formules properder; interpunctie; schrijfwijze(dB))
==Effecten van het gebruik==
 
[[Bestand:Leakage.jpg|thumb|right|Effecten van windowing van 5 seconden op de Fouriertransformatie van een sinus van 5,26 Hz:. groenGroen: werkelijk spectrum op 5,26 Hz. Rood: convolutie van het sinusspectrum en het spectrum van het gebruikte rechthoekig venster. Blauw: uiteindelijk spectrum dat Fouriercoëfficiënten bevat op de veelvouden van 0,2Hz. Omdat de werkelijke frequentie van de sinus hiermee niet samenvalt zal leakage optreden.]]
 
De nevenstaande figuur illustreert de onderstaande uitleg concreet voor een sinus van 5,26 Hz die wordt waargenomen met een rechthoekig venster van 5 seconden.
dan is de [[fouriertransformatie]]
 
:<math>F(\omega) \, = \, AT \ \operatorname{sinc}(\omega T/2) </math>
 
De unieke spectrale lijn op de frequentie van de sinus is dus nu vervangen door deze sinc-functie gecentreerd op de frequentie van de sinus.
Indien:
 
:<math>f(t) \, = \, A \sin(\omega_o t)\! </math>
 
op het interval <math>[-T/2 ... T/2] \! </math> en nul daarbuiten,
dan is de [[fouriertransformatie]]
 
:<math>F(\omega) \, = \, AT \ \operatorname{sinc}[(\omega + \omega_o) T/2] + AT \ \operatorname{sinc}[(\omega - \omega_o) T/2]</math>
 
Daarboven komt nog het feit dat de [[fouriertransformatie]] in de praktijk wordt berekend door middel van een [[Fast Fourier transform|FFT]], en deze berekent de [[fouriertransformatie]] in een discrete vorm: het resultaat van de FFT bevat enkel informatie op de veelvouden van de grondfrequentie van de meting, en deze is één gedeeld door de duur van de meting. Een meting van 5 seconden levert dus enkel fouriercoëfficiënten op 0,2&nbsp;Hz, 0,4&nbsp;Hz, 0,6&nbsp;Hz... In het algemeen zullen deze ''zichtbare'' frequenties, de blauwe pieken op de figuur, niet samenvallen met de piek van de getransformeerde van het venster, en wordt er dus geen unieke piek gemeten, maar een gans bos van pieken die hun maximum bereiken in de buurt van de werkelijke frequentie van de te meten sinus. De maximale piek zal echter lager zijn dan de werkelijke sterkte van de sinus.
 
==Kwaliteitscriteria==
[[Bestand:Window Criteria.jpg|thumb|right|Kwaliteitscriteria van een venster: Sideside lobe roll off (deze helling is constant indien de frequentieas logaritmisch is), scalloping loss, breedte van de hoofdlobe op -3 dB en hoogte van de hoogste zijlobe]]
 
De [[fouriertransformatie|fouriergetransformeerde]] van een venster bestaat steeds uit een centrale hoofdlobe (''main lobe'') en afnemende zijlobes (side lobes'').
De vensters kunnen worden beoordeeld volgens volgende criteria:
 
* ''Scallop loss'' : de maximale fout in dB die kan voorkomen bij een amplitudemeting. Deze fout treedt op indien de top van de hoofdlobe niet samenvalt met een zichtbare frequentie van de [[Fouriertransformatie]]. In het slechtse geval ligt de frequentie van een te meten sinus toevallig net tussen de frequenties van twee opeenvolgende fouriercoëfficiënten. In deze situatie wordt de scallop loss bepaald.
 
* ''Main lobe width'' : de breedte van de hoofdlobe. Hoe breder de hoofdlobe, hoe moeilijker sinussen met bijna gelijke frequentie zullen kunnen onderscheiden worden. Bij vensters met een zeer brede hoofdlobe zullen de twee sinussen als één gezamenlijke piek zichtbaar zijn. Deze breedte kan op verschillende wijze worden gegeven, bijvoorbeeld de breedte op -3dB uitgedrukt in bins. Een bin is het verschil in frequentie tussen twee opeenvolgende fouriercoëfficiënten.
 
* ''Highest side lobe level'' : geeft aan hoeveel dB de hoogste zijlobe onder het niveau van de hoofdlobe ligt.
 
* ''Side lobe roll off'' : geeft aan met hoeveel dbdB/decade het niveau van de zijlobes zakt. Een decade is een frequentietoename met een factor tien. Samen met het niveau van de hoogste zijlobe bepaalt dit criterium in welke mate zwakke sinussen mogelijk zullen worden overstemd door de leakage van sterke sinussen die in de buurt liggen. Indien de frequentieas logaritmisch wordt gekozen is de side lobe roll off op de figuur een constant dalende lijn.
== Types van vensters ==
Terminologie''':'''
*<math>N\,</math> is de breedte in netpunten van de discrete vorm van het venster. Meestal is dat in de praktijk een macht van 2 zodat het [[Fast Fourier Transform]]-algoritme in optimale omstandigheden kan worden toegepast.
*<math>n\,</math> is een gehele parameter die loopt van 0 tot N-1. De vensters worden dus beschreven op een internal [0..N-1] zodat het maximum van de vensters ruwweg ligt op n = N/2.
 
==== Rechthoekig venster ====
:<math>w(n) = 1\,</math>
 
Het rechthoekig venster is ook gekend onder de naam [[Dirichlet]]-venster. Het snijdt gewoon een stuk van lengte N uit een digitaal signaal zonder dat de samplewaarden van het signaal worden gewijzigd. Dit leidt in veel gevallen tot discontinuïteiten aan de randen van het interval waardoor het venster zeer slecht scoort op de criteria betreffende de hoogte zijlobe (slechts 13 onder de centrale lobe). Omdat de side lobe roll off slechts 20 dbdB met decade bedraagt kampt dit venster met ernstige leakage. Qua resolutie scoort dit venster wel heel goed.
 
==== Von Hann-venster ====
!Venster
!Scallop Loss
!main lobe width op -3 dbdB
!higest side lobe level
!side lobe roll off
 
==Externe link==
* {{en}} [http://zone.ni.com/devzone/cda/tut/p/id/4844 Windowing: Optimizing FFTs Using Window Functions] Deze link bevat aanwijzingen welk venster te gebruiken naargelang het type signaal.
Deze link bevat aanwijzingen welk venster te gebruiken naargelang het type signaal.
 
{{Appendix|2=
872

bewerkingen