Scheidingsaxioma: verschil tussen versies

60 bytes verwijderd ,  9 jaar geleden
Een niet-triviaal voorbeeld van dit laatste vormt de [[Zariski-topologie]] op het [[Spectrum (wiskunde)|spectrum]] van een [[commutatieve ring]] (zie de voorbeelden bij de definitie van een [[topologische ruimte]]). Deze is altijd <math>T_0</math>, maar ze is pas <math>T_1</math> als alle priemidealen van de ring maximaal zijn.
 
== <math>T_2</math>: Hausdorff-ruimte ==
== Hausdorff-ruimte: T<sub>2</sub> ==
EenHet [[topologische ruimte]] heet [[Hausdorff-ruimte]], ookaxioma <math>T_2</math>-ruimte ofeist kortweg <math>T_2</math>, als erdat voor ieder puntenpaarpaar punten <math>(x,y)</math> een [[disjuncte verzamelingen|disjunctdisjuncte]] paar [[open verzameling]]en <math>(F,</math> en <math>G)</math> bestaatbestaan zodat elk van beide open verzamelingen precies één van de twee punten bevat. Dit is gelijkwaardig met de eis dat de diagonaalverzameling <math>\{(x,x)|x\in X\}</math> een [[gesloten verzameling|gesloten deel]] is in de [[producttopologie]] van het [[Cartesisch product]] <math>X\times X</math>.
<math>\{(x,x)|x\in X\}</math> (de verzameling identieke koppels van <math>X</math>) een [[gesloten verzameling|gesloten deel]] is van het [[Cartesisch product]] <math>X\times X</math>, uitgerust met de [[producttopologie]].
 
Een topologische ruimte die voldoet aan het scheidingsaxioma <math>T_2</math> heet [[Hausdorff-ruimte]], ook <math>T_2</math>-ruimte of kortweg <math>T_2</math>.
Het is opnieuw gemakkelijk te zien dat <math>T_2</math> minstens even sterk is als <math>T_1</math>. En ook hier bestaan er tegenvoorbeelden voor de omgekeerde bewering. De cofiniete topologie (zie voorbeelden topologische ruimte) is altijd <math>T_1</math>, maar ze is slechts <math>T_2</math> op een eindige ruimte.
 
Het is opnieuw gemakkelijk te zien dat <math>T_2</math> minstens even sterk is als <math>T_1</math>. En ook hier bestaan er tegenvoorbeelden voor de omgekeerde bewering. De cofiniete topologie (zie voorbeelden topologische ruimte) is altijd <math>T_1</math>, maar ze is slechts <math>T_2</math> op een eindige ruimte.
Aan deze soort topologische ruimten is het afzonderlijke artikel [[Hausdorff-ruimte]] gewijd.
 
== Reguliere ruimte: T<sub>3</sub> ==
31.947

bewerkingen