Scheidingsaxioma: verschil tussen versies

Een [[pseudometriek|pseudometrische ruimte]] die geen [[metrische ruimte]] is, geeft aanleiding tot een topologie die niet <math>T_0</math> is. Twee verschillende punten met onderlinge afstand 0 kunnen immers niet gescheiden worden door open verzamelingen.

 

Een topologische ruimte heet [[Maurice René Fréchet|''Fréchet'']] (niet "Fréchetruimte", dat is een begrip uit de [[functionaalanalyse]]), ook <math>T_1</math>-ruimte of kortweg <math>T_1</math>, als er voor ieder puntenpaar <math>(x,y)</math> een [[open verzameling]] bestaat die <math>x</math> bevat maar niet <math>y</math>, en een open verzameling die <math>y</math> bevat maar niet <math>x</math>. Dit is gelijkwaardig met de eis dat alle [[singleton (wiskunde)|singleton]]s [[gesloten verzameling]]en zijn.

 

Een niet-triviaal voorbeeld van dit laatste vormt de [[Zariski-topologie]] op het [[Spectrum (wiskunde)|spectrum]] van een [[commutatieve ring]] (zie de voorbeelden bij de definitie van een [[topologische ruimte]]). Deze is altijd <math>T_0</math>, maar ze is pas <math>T_1</math> als alle priemidealen van de ring maximaal zijn.

 

Een [[topologische ruimte]] heet [[Hausdorff-ruimte]], ook <math>T_2</math>-ruimte of kortweg <math>T_2</math>, als er voor ieder puntenpaar <math>(x,y)</math> een [[disjuncte verzamelingen|disjunct]] paar [[open verzameling]]en <math>(F,G)</math> bestaat zodat elk van beide verzamelingen precies één van de twee punten bevat. Dit is gelijkwaardig met de eis dat de diagonaalverzameling

<math>\{(x,x)|x\in X\}</math> (de verzameling identieke koppels van <math>X</math>) een [[gesloten verzameling|gesloten deel]] is van het [[Cartesisch product]] <math>X\times X</math>, uitgerust met de [[producttopologie]].

Aan deze soort topologische ruimten is het afzonderlijke artikel [[Hausdorff-ruimte]] gewijd.

 

[[Afbeelding:Regular space.svg|240px|right|thumb|Voor elke gesloten verzameling ''F'' en elk punt ''x'' buiten ''F'' bestaat er een disjunct stel omgevingen.]]

 

Er bestaan voorbeelden van niet-reguliere Hausdorff-ruimten.

 

[[Afbeelding:Normal space.svg|240px|right|thumb|Elk paar disjuncte gesloten verzamelingen {''E,F''} heeft een disjunct stel omgevingen.]]

 

Er bestaan voorbeelden van niet-normale, reguliere ruimten.

 

[[Pavel Urysohn]] bewees dat in een normale ruimte steeds de volgende stelling geldt: voor ieder punt <math>x</math> en voor iedere gesloten verzameling <math>G</math> waar <math>x</math> niet toe behoort, bestaat er een continue afbeelding van de hele ruimte <math>X</math> naar het gesloten interval <math>[0,1]</math> die <math>x</math> afbeeldt op <math>0</math>, en <math>G</math> op <math>\{1\}</math>.