Inverse matrix: verschil tussen versies

226 bytes verwijderd ,  7 jaar geleden
geen bewerkingssamenvatting
k (r2.7.2+) (Robot: interwiki gewijzigd van ar:معكوس المصفوفة naar ar:معكوس مصفوفة)
In de [[lineaire algebra]] is de '''inverse matrix''', of kort de '''inverse''', van een [[vierkante matrix]] het inverse element van die [[matrix (wiskunde)|matrix]] met betrekking tot de bewerking [[matrixvermenigvuldiging]]. Niet iedere matrix heeft een inverse. Als de inverse bestaat heet de matrix '''inverteerbaar'''. De inverse van de inverteerbare matrix ''A'', genoteerd als ''A<mathsup>A^{-1}</mathsup>'', is ook een vierkante matrix van dezelfde dimensie als ''A'', die zowel links als rechts met ''A'' vermenigvuldigd de [[eenheidsmatrix]] oplevert.
 
Wanneer van een stelsel vergelijkingen ''Ax=b'' de inverse ''A<sup>-1</sup>'' van ''A'' bekend is, kan voor wisselende waarden van de vector ''b'' de vector ''x'' worden berekend. De oplossing is ''x= A<sup>-1</sup>b'', dat is een relatief eenvoudige berekening.
 
==Definitie==
Een ''n''×''n''-matrix ''A'' heet '''inverteerbaar''', als er een ''n''×''n''-matrix ''B'' bestaat waarvoor geldt dat ''A<sup>-1</sup>''.
:<math>AB=BA=I</math>.
 
Hierbij is <math>''I</math>'' de ''n''×''n''-[[eenheidsmatrix]]. De matrix ''B'' heet de '''inverse''' van ''A'' en wordt aangeduid door <math>A^{-1}</math>.
 
Een inverteerbare matrix wordt ook '''regulier''' genoemd en een niet-inverteerbare '''singulier'''.
 
== Eigenschappen==
* ([[Uniciteit)]]: De inverse is [[uniciteit|eenduidig]] bepaald. Stel namelijk dat <math>''B</math>'' de inverse is van <math>''A</math>'' en <math>''C</math>'' een andere inverse. Dan is
:<math>B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C</math>.
* Als <math>''A</math>'' inverteerbaar is, is ook ''A<mathsup>A^{-1}</mathsup>'' inverteerbaar en
 
* Als <math>A</math> inverteerbaar is, is ook <math>A^{-1}</math> inverteerbaar en
*:<math>(A^{-1})^{-1}=A</math>
* Als <math>''A</math>'' en <math>''B</math>'' inverteerbare ''n''×''n''-matrices zijn, is ook hun product <math>''AB</math>'' inverteerbaar en
*:<math>(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}</math>
* De [[getransponeerde matrix]] ''A<mathsup>A^{T}</mathsup>'' van een inverteerbare matrix ''A'', is ook inverteerbaar en
*:<math>(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}</math>
 
===Inverteerbaarheid===
Voor een ''n''×''n''-matrix <math>''A</math>'' zijn de volgende uitspraken equivalent
* <math>''A</math>'' is inverteerbaar
* de [[determinant]] van <math>''A</math>'' is verschillend van 0.
* de vergelijking <math>''Ax''=0</math> heeft als enige oplossing <math>''x''=0</math>
* de vergelijking <math>''Ax=b</math>'' heeft precies één oplossing voor elke <math>''b</math>''
* ''A<mathsup>A^{T}</mathsup>'' is inverteerbaar
* er is een ''n''×''n''-matrix ''B'' zodat <math>''AB=I</math>''
* er is een ''n''×''n''-matrix ''C'' zodat <math>''CA=I</math>''
* de kolommen van <math>''A</math>'' zijn [[Lineaire onafhankelijkheid|lineair onafhankelijk]]
* de [[rang vanRang een(lineaire matrixalgebra)|rang]] van <math>''A</math>'' is ''n''
 
==Matrices inverteren==
==Matrixinversie==
Het daadwerkelijk bepalenberekenen van de inverse van een matrix wordt [[matrixinversie]] genoemd. Omdat de betrokken matrices, in de praktijk veelal grote afmetingen hebbentoegepast, is de inversie eenvaak bewerkelijke opgave met veel numerieke moeilijkheden. Dat komt omdat de betrokken matrices meestal grote afmetingen hebben. Er is veel onderzoek naar gedaan, zowel theoretisch als praktisch, bij het ontwikkelen van [[algoritme]]n om een matrix te kunnen inverteren.
 
In principe wordt de inverse van ''A'' gegeven door
==Voorbeeld==
De 2×2-matrix <math>A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}</math>
is inverteerbaar als <math>''ad-bc</math>'', de [[determinant]] van ''A'', niet gelijk is aan 0. De inverse van ''A'' wordt dan gegeven door:
:<math>A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}</math>
 
==Toepassing==
De inverse wordt wel toegepast voor het herhaald oplossen van een stelsel vergelijkingen <math>Ax=b</math> voor wisselende waarden van de vector <math>b</math>. De oplossing is immers <math>x=A^{-1}b</math> en die kan, als eenmaal de inverse bekend is, door matrixvermenigvuldiging berekend worden.
 
[[Categorie:Lineaire algebra]]