Booleaanse algebra: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Versie 32734913 van Electonicsboy (overleg) ongedaan gemaakt. |
||
Regel 1:
{{Zijbalk algebraïsche structuren}}
In de [[wiskunde]], met name de [[abstracte algebra]], en in de [[informatica]] is een '''
Zo is het logische "[[uitgesloten derde]]", dat stelt dat een uitspraak waar is of onwaar, equivalent met de regel dat de vereniging van een verzameling en z'n complement alle in het geding zijnde elementen bevat.
Regel 6:
:<math>A \cup A^C = U</math>.
Complementair daaraan is de logische vaststelling dat een uitspraak en z'n ontkenning niet samen waar kunnen zijn. Dit wordt voor verzamelingen
:<math>A \cap A^C = \empty</math>.
De [[Booleaanse operator]]en zijn genoemd naar de [[Verenigd Koninkrijk|Brit]] [[George Boole]], die ze in het midden van de [[19e eeuw]] invoerde. Booleaanse algebra is een poging om algebraïsche technieken te gebruiken teneinde te kunnen omgaan met logische uitdrukkingen. De Booleaanse algebra vindt bijvoorbeeld zijn toepassing in het samenstellen van [[digitaal|digitale]] [[elektronica|elektronische schakelingen]], zoals die onder andere in [[computer]]s worden gebruikt. In de praktijk kan men de werking ervan onder meer zien in sommige [[zoekmachine|zoeksystemen]] voor internetpagina's.
==Definitie==
Een '''Boole-algebra''' bestaat uit een verzameling ''A'', voorzien van twee [[binaire operatie|binaire bewerking]]en "en" (Engels: "''meet''") <math>\and</math> (logische ''AND''), "of" (Engels: "''join''") <math>\or</math> (logische OR), een [[unaire bewerking]] "niet" <math>\lnot</math> (logische ''NOT'') en twee elementen 0 (logische ''FALSE'') en 1 (logische ''TRUE''):
{| class="wikitable"
!naam!!Engelse naam!!colspan=2|symbolen
|-
|en||meet, and||<math>\and</math>||<math> \times</math>
|-
|of||join, or||<math>\or</math>||<math> +</math>
|-
|niet||not||<math>\lnot</math>||<math>\sim</math>
|-
|0||false||0
|-
|1||true||1
|}
Andere bewerkingen zijn:
{| class="wikitable"
!naam!!Engelse naam!!symbool
|-
|niet-en||nand||<math>\lnot(a \and b)</math>
|-
|niet-of||nor||<math>\lnot(a \or b)</math>
|-
|exclusieve of||xor||<math>(a \or b) \and \lnot (a \and b)</math>
|}
Er is sprake van een Boole-algebra indien voldaan is aan de volgende [[axioma]]'s:
[[associativiteit]]
:<math> a \or (b \or c) = (a \or b) \or c </math>
:<math> a \and (b \and c) = (a \and b) \and c </math>
[[commutativiteit]]
:<math> a \or b = b \or a </math>
:<math> a \and b = b \and a </math>
[[Absorberend element|absorptie]]
:<math> a \or (a \and b) = a </math>
:<math> a \and (a \or b) = a </math>
[[distributiviteit]]
:<math> a \or (b \and c) = (a \or b) \and (a \or c) </math>
:<math> a \and (b \or c) = (a \and b) \or (a \and c) </math>
[[complement (verzamelingenleer)|complement]]
:<math> a \or \lnot a = 1 </math>
:<math> a \and \lnot a = 0 </math>
De eerste drie paren axioma's, associativiteit, commutativiteit en absorptie, houden in dat het drietal (''A'', <math>\and</math>, <math>\or</math>) een [[tralie (wiskunde)|tralie]] is.
Uit de axioma's volgt dat in de [[partiële orde]]ning van het tralie 0 het kleinste element en 1 het grootste element is. (Die partiële ordening wordt bepaald door a ≤ b te noemen als <math>a=a\and b</math>.)
Verder volgt uit de axioma's dat het complement ¬''a'' van een element ''a'' eenduidig bepaald is en dat:
[[idempotentie]]
:<math> a \or a = a</math>
:<math> a \and a = a </math>
kleinste en grootste elementen
:<math> a \or 0 = a </math>
:<math> a \and 1 = a </math>
:<math> a \or 1 = 1 </math>
:<math> a \and 0 = 0 </math>
[[complement (verzamelingenleer)|complementen]]
:<math> \lnot 0 = 1 </math>
:<math> \lnot 1 = 0 </math>
[[Wetten van De Morgan|regels van de Morgan]]
:<math> \lnot (a \or b) = \lnot a \and \lnot b</math>
:<math> \lnot (a \and b) = \lnot a \or \lnot b</math>
[[involutie (wiskunde)|involutie]]
:<math> \lnot \lnot a = a </math>.
==Notatie==
Soms wordt vanwege een zekere mate van overeenkomst een "+" gebruikt voor <math>\or</math> en een "." voor <math>\and</math>. Voor wie bekend is met getallen[[algebra]], schept deze notatie verwarring, omdat deze symbolen, die ook in getallenalgebra worden gebruikt, hier een andere betekenis hebben.
: '''+''' betekent ''OR'' (OF)
: '''·''' betekent ''AND'' (EN)
: <math>\overline A</math> betekent ''NOT'' <math>A</math> (NIET)
Booleaanse algebra werkt met variabelen die slechts de waarden 0 en 1 aannemen. Voorbeelden van vergelijkingen:
<math>\begin{matrix} 1+1=1 \end{matrix}</math>
<math>\begin{matrix} A+B.C=(A+B).(A+C) \end{matrix}</math>
<math>\begin{matrix} A+ \overline{A}.B=A+B \end{matrix}</math>
Soms wordt ook een vierde Booleaanse operator gehanteerd, de ''exclusive OR - XOR'' (EXCLUSIEVE OF, of [[exclusieve disjunctie]]), gedefinieerd door de regel
:: <math>A\oplus B=A.\overline B+B.\overline A</math>
(ook te schrijven als <math>(A \and \lnot B) \or (B \and \lnot A)</math>)
De operator <math>\oplus</math> gedraagt zich ongeveer als de klassieke getallenoperator <math>+</math>, weliswaar met de eigenaardigheid dat <math>1\oplus1=0</math>
Een ''volledig'' stel logische uitdrukkingen wordt gemodelleerd door een [[algebra van verzamelingen]]. Het is, in de formele zin, een associatieve [[algebra (structuur)|algebra]] met eenheidselement over het [[Lichaam_(Ned)_/_Veld_(Be)|lichaam (in België: veld)]] <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{0,1\}</math> met de bewerkingen <math>\oplus</math> en <math>.</math>
==Voorbeelden==
De eenvoudigste Boole-algebra bestaat slechts uit de elementen 0 en 1. De rekenregels volgen uit de axioma's:
{|
|-
| width="100" |
|
{| class="wikitable"
!<math>\and</math> || 0 || 1
|-
! 0
| 0 || 0
|-
! 1
| 0 || 1
|}
| width="40" |
|
{| class="wikitable"
!<math>\or</math> || 0 || 1
|-
! 0
| 0 || 1
|-
! 1
| 1 || 1
|}
| width="20" |
|
{| class="wikitable"
! a || <math>\lnot </math> a
|-
| 0 || 1
|-
| 1 || 0
|}
|}
Een ander voorbeeld van een Boole-algebra wordt gevormd door de [[machtsverzameling]] van een gegeven verzameling ''U'', met de bekende bewerkingen vereniging, doorsnede en complement.
==Zie ook==
* [[Booleaanse functie]]
* [[Logische conjunctie]]
* [[Logische disjunctie]]
* [[Robbins-algebra]]
{{Commonscat|Boolean algebra}}
{{DEFAULTSORT:Booleaanse algebra}}
[[Categorie:Booleaanse algebra| ]]
[[Categorie:Abstracte algebra]]
[[Categorie:Wiskundige logica]]
[[Categorie:Programmeerconcept]]
{{Link GA|pl}}
[[af:Boolse algebra]]
[[ar:جبر بولياني]]
[[ast:Álxebra de Boole]]
[[bg:Булева алгебра]]
[[bn:বুলিয়ান বীজগণিত]]
[[bs:Booleova algebra]]
[[ca:Àlgebra de Boole]]
[[cs:Booleova algebra]]
[[de:Boolesche Algebra]]
[[en:Boolean algebra (structure)]]
[[eo:Bulea algebro]]
[[es:Álgebra de Boole]]
[[eu:Booleren aljebra]]
[[fa:جبر بولی]]
[[fi:Boolen algebra]]
[[fr:Algèbre de Boole (structure)]]
[[gl:Álxebra de Boole]]
[[he:אלגברה בוליאנית (מבנה אלגברי)]]
[[hr:Booleova algebra]]
[[hu:Boole-algebra]]
[[id:Aljabar Boolean]]
[[io:Booleana algebro]]
[[it:Algebra di Boole]]
[[ja:ブール代数]]
[[ko:불 대수]]
[[lt:Būlio algebra]]
[[mk:Булова алгебра]]
[[no:Boolsk algebra]]
[[pl:Algebra Boole'a]]
[[pms:Àlgebra ëd Boole]]
[[pt:Álgebra booleana]]
[[ru:Булева алгебра]]
[[simple:Boolean algebra]]
[[sk:Boolova algebra]]
[[sl:Booleova algebra]]
[[sr:Булова алгебра]]
[[sv:Boolesk algebra]]
[[th:พีชคณิตแบบบูล]]
[[tl:Alhebrang Boolean]]
[[tr:Boole cebiri]]
[[uk:Булева алгебра]]
[[zh:布尔代数]]
|