Commutativiteit: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k r2.7.1) (Robot: toegevoegd: gl:Conmutatividade |
k Code -> sjabloon |
||
Regel 1:
[[Bestand:Commutative Addition.svg
Het [[wiskunde|wiskundige]] begrip '''commutativiteit''' betekent intuïtief dat bij een bewerking die wordt toegepast op twee [[wiskundig object|objecten]], de volgorde van beide objecten gewijzigd mag worden zonder dat dit gevolgen heeft voor het eindresultaat. Het is een fundamentele eigenschap in veel takken van de wiskunde. Veel [[bewijs (wiskunde)|bewijzen]] gaan van deze eigenschap uit. Lange tijd werd de commutativiteit van eenvoudige [[Basisoperatie|operaties]] impliciet aangenomen en had de eigenschap geen naam, totdat de wiskundigen in de negentiende eeuw zijn begonnen de [[Grondslagen van de wiskunde|wiskunde]] formeel vast te leggen.
== Algemeen gebruik ==
De term "commutatief" wordt in een aantal verschillende contexten gebruikt.<ref>Krowne, p.1</ref><ref>Weisstein, ''Commute'', p.1</ref>
1. Een [[binaire operatie]] <math>*</math> op een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] ''S'' wordt ''commutatief'' genoemd als:
:<math>\forall x,y \in S: x * y = y * x \,</math>
:(Voor alle x en y uit de verzameling S geldt dat x maal y is gelijk aan y maal x.)
: - Een operatie die niet voldoet aan deze eigenschap wordt ''niet-commutatief'' genoemd
2. Men zegt dat ''x commuteert'' met ''y'' onder <math>*</math> als:
:<math> x * y = y * x \,</math>
3. Een [[binaire functie]] f:''A'''''×'''''A'' → ''B'' wordt ''commutatief'' genoemd als:
:<math>\forall x,y \in A: f (x, y) = f(y, x) \,</math>
In het algemeen zegt men dat twee elementen ''x'' en ''y'' ''commuteren'' als ze aan bovenstaande identiteit voldoen. De operatie is commutatief als elk willekeurig paar elementen commuteert.
Regel 22:
== Voorbeelden ==
=== Commutatieve handelingen in het dagelijks leven ===
* Schoenen aantrekken lijkt in die zin op een commutatieve operatie, omdat het niet uitmaakt of je eerst de linker- of eerst de rechterschoen aantrekt, het eindresultaat (beide schoenen aangetrokken) is identiek.
* Bij het teruggeven van de [[wisselgeld]] maken we gebruik van de commutativiteit van optellen. Het maakt immers niet uit in welke volgorde we de munten teruggeven, de munten tellen ongeacht de volgorde, waarin ze worden teruggegeven, altijd op tot hetzelfde bedrag.
=== Commutatieve operaties in de wiskunde ===
De bekendste voorbeelden van binaire commutatieve operaties zijn [[optellen]] en [[vermenigvuldigen]] van natuurlijke getallen:
: ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' (voorbeeld: 5 + 2 = 2 + 5)
: ''a'' × ''b'' = ''b'' × ''a'' (voorbeeld: 5 × 6 = 6 × 5)
Andere commutatieve binaire operaties zijn o.a. optellen en vermenigvuldigen van [[reëel getal|reële]] en [[complex getal|complexe getallen]], optellen van [[vector (wiskunde)|vectoren]] en het [[inwendig product|inproduct]].
=== Niet-commutatieve operaties in de wiskunde ===
Voorbeelden van operaties die '''niet''' commutatief zijn:
* [[aftrekken (wiskunde)|aftrekken]]: 5 - 2 is niet hetzelfde als 2 - 5
* Samenstelling van [[lineaire afbeelding|lineaire operatoren]] tussen [[vectorruimte]]n, zoals [[matrixvermenigvuldiging]] van ''n × n''-matrices.
Regel 43:
== Voetnoten ==
{{References}}
== Zie ook ==
* [[Associativiteit (wiskunde)]]
* [[Distributiviteit]]
[[Categorie:Abstracte algebra]]
| |||