Versie van 18 dec 2005 01:05 bewerken Lieven Smits (overleg \| bijdragen) uitgebreid bevestigde gebruikers 3.871 bewerkingen k aanpassing link verzameling ← Oudere bewerking		Versie van 19 feb 2006 01:45 bewerken ongedaan maken Nijdam (overleg \| bijdragen) 3.498 bewerkingen aanpassingen Nieuwere bewerking →
Regel 1: Een '''~~Pseudometriek~~pseudometriek''' is ~~een begrip uit~~in de [[wiskunde]], meer bepaald uit de tak die men [[topologie]] noemt, een iets algemener begrip dan een [[metriek (wiskunde)\|metriek]]. Het is 'bijna' een metriek in de zin dat een '''pseudometriek''' toestaat dat elementen een "(pseudo)afstand" 0 hebben en toch verschillend zijn, iets wat bij een (echte) metriek is uitgesloten. == Definitie == Een pseudometriek op een [[Verzameling (wiskunde)\|verzameling]] ''V'' is een afbeelding <math>\ d: V\times V\rightarrow\mathbf{R}</math> die aan de volgende [[axioma]]'s voldoet: voor willekeurige <math>x, y, z \in V</math> geldt: ~~Zij <math>V</math> een willekeurige [[Verzameling (wiskunde)\|verzameling]]. Een pseudometriek is een symmetrische reëelwaardige [[functie (wiskunde)\|functie]] op het [[Cartesisch product]]~~ # <math>d(x,y) \ge 0\,</math> (niet-negativiteit). # <math>d~~:V\times~~(x,x) ~~V\to~~= ~~R^+~~0\,</math> .▼ # <math>d(x,y) = d(y,x)\,</math> (symmetrie). # <math>d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)\,</math> (de [[driehoeksongelijkheid]]). ▲<math>d:V\times V\to R^+</math> Het paar <math>(V,d)\,</math> noemt men wel ~~eens~~ een ''pseudometrische ruimte''. Een pseudometriek is een [[metriek]] als en slechts als ''uitsluitend'' identieke koppels onderlinge afstand 0 hebben:▼ ~~die identieke koppels op 0 afbeeldt, en die voldoet aan de [[driehoeksongelijkheid]]:~~ :<math>\forall x,y\in V:d(x,y)=0\implies x=y</math>▼ ~~<math>\forall x,y,z\in V:d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)</math>~~ ▲Het paar <math>(V,d)</math> noemt men wel eens een ''pseudometrische ruimte''. Een pseudometriek is een [[metriek]] als en slechts als ''uitsluitend'' identieke koppels onderlinge afstand 0 hebben: ▲<math>\forall x,y\in V:d(x,y)=0\implies x=y</math> == Verband met topologie == Noem een deelverzameling <math>D</math> van <math>V</math> ''open'' als voor elk element <math>x\in D\,</math> de punten die voldoende dicht bij <math>x</math> liggen, ook tot <math>D</math> behoren, d.w.z.:▼ :<math>\forall x\in D\ \exists\epsilon>0\ \forall y\in V:\ d(x,y)<\epsilon\implies y\in D</math>▼ ▲Noem een deelverzameling <math>D</math> van <math>V</math> ''open'' als voor elk element <math>x\in D</math> de punten die voldoende dicht bij <math>x</math> liggen, ook tot <math>D</math> behoren: ▲<math>\forall x\in D\exists\epsilon>0\forall y\in V:d(x,y)<\epsilon\implies y\in D</math> De collectie van alle open verzamelingen van <math>V</math> vormt een [[topologische ruimte\|topologie]] op <math>V</math>. Lang niet alle topologische ruimten zijn afkomstig van pseudometrieken.

Pseudometriek: verschil tussen versies