|
F_ck jullie allemaal.
[[Bestand:Linear subspaces with shading.svg|thumb|250px|right|Een [[lijn (wiskunde)|lijn]], die door de [[oorsprong (wiskunde)|oorsprong]] (blauw, dik) in de [[Euclidische ruimte]] '''R'''<sup>3</sup> passeert, is een [[lineaire deelruimte]], een gemeenschappelijk object van studie in de lineaire algebra.]]
'''Lineaire algebra''' is een deelgebied van de [[wiskunde]], dat zich bezig houdt met de studie van [[vector (wiskunde)|vectoren]], [[vectorruimte]]n en [[lineaire transformatie]]s, [[functie (wiskunde)|functies]] die input-vectoren volgens bepaalde regels tot output-vectoren transformeren.
De lineaire algebra staat centraal in de moderne wiskunde en haar toepassingen. Een elementaire toepassing van de lineaire algebra is het oplossen van [[stelsel van lineaire vergelijkingen|stelsels van lineaire vergelijkingen]] in meerdere onbekenden. Meer geavanceerde toepassingen zijn alomtegenwoordig in zo uiteenlopende gebieden als de [[abstracte algebra]] en de [[functionaalanalyse]]. Het kent een concrete representatie in de [[analytische meetkunde]] en wordt algemeen gemaakt in de [[operatorentheorie]]. De lineaire algebra wordt zowel in de [[natuurwetenschap]]pen als in de [[sociale wetenschappen]] veel gebruikt. Niet-lineaire [[wiskundig model|wiskundige modellen]] worden vaak benaderd door lineaire modellen.
== Geschiedenis ==
Veel van de basisinstrumenten van de lineaire algebra, in het bijzonder die met betrekking tot de oplossing van stelsels lineaire vergelijkingen, werden al in de Oudheid gebruikt. Maar de abstracte studie van vectoren en vectorruimten begint pas in de jaren 1600. De oorsprong van veel van deze ideeën wordt besproken in de geschiedenis van het artikel over [[determinant#geschiedenis|determinanten]]. De [[kleinste-kwadratenmethode]], die voor het eerst in de jaren 1790 door [[Carl Friedrich Gauss]] werd gebruikt, is een vroege en significante toepassing van de ideeën uit de lineaire algebra.
Het onderwerp begon haar moderne vorm aan te nemen in het midden van de 19e eeuw, toen veel ideeën en methoden uit vorige eeuwen werden veralgemeend in de [[abstracte algebra]]. [[Matrix (wiskunde)|Matrices]] en [[tensor]] werden aan het begin van de 20e eeuw geïntroduceerd. Het gebruik van deze [[wiskundig object|objecten]] in de [[speciale relativiteitstheorie]], [[statistiek]] en [[kwantummechanica]] zorgde er voor dat de ideeën van de lineaire algebra zich buiten de [[zuivere wiskunde]] hebben verspreid.
== Algemene structuren ==
De belangrijkste [[wiskundige structuur|structuren]] van de lineaire algebra zijn [[vectorruimte]]n en de [[lineaire afbeelding]]en tussen deze vectorruimten. Een '''vectorruimte''' is een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]], waarvan de [[element (wiskunde)|elementen]] bij elkaar op kunnen worden geteld en met '''scalairen''' of getallen kunnen worden vermenigvuldigd. In veel natuurlijke toepassingen zijn deze scalairen [[reëel getal|reële getallen]], '''R'''. Meer in het algemeen kunnen de scalairen een [[veld (wiskunde)|veld]], '''f''' vormen - men kan dus vectorruimten over het veld '''Q''' van [[rationaal getal|rationale getallen]], het veld '''C''' van [[complex getal|complexe getallen]] of een [[eindig veld]] '''F'''<sub>''q''</sub> beschouwen. Deze twee operaties moeten zich op dezelfde manier gedragen als optelling en vermenigvuldiging van getallen: optelling is [[commutatief]] en [[associatief]], vermenigvuldiging [[distributiviteit|distribueert]] over optelling, en zo verder. Om precies te zijn moeten de twee operaties voldoen aan een lijst van axioma's, die is gekozen om eigenschappen van optelling en scalaire vermenigvuldiging van [[vector (wiskunde)|Euclidische vectoren]] te emuleren in de van [[coördinaten]] voorziene ''n''-ruimte '''R'''<sup>''n''</sup>. Een van de axioma's schrijft het bestaan van de '''nulvector''' voor. De nulvector gedraagt zich met betrekking tot optelling analoog aan het getal nul. Elementen van een algemene vectorruimte ''V'' kunnen objecten van verschillende aard zijn, bijvoorbeeld [[functie (wiskunde)|functies]] of [[veeltermring|veeltermen]]. Gezien als elementen van ''V'' worden zij vaak aangeduid met de term '''vectoren'''.
Gegeven twee vectorruimten ''V'' en ''W'' over een veld '''F''', is een '''lineaire transformatie''' een [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]]
: <math> T:V\to W \!</math>
die compatibel is met optelling en scalaire vermenigvuldiging:
: <math> T(u+v)=T(u)+T(v), \quad T(rv)=rT(v) </math>
voor enige vectoren ''u'',''v'' ∈ ''V'' en een scalair ''r'' ∈ '''F'''.
Een fundamentele rol in de lineaire algebra wordt gespeeld door de noties van [[lineaire combinatie]], [[lineair omhulsel]] en [[lineaire onafhankelijkheid]] van vectoren en de [[basis (lineaire algebra)|basis]] en [[dimensie (lineaire algebra)|dimensie]] van een vectorruimte. Gegeven een vectorruimte ''V'' over een veld '''F''', een uitdrukking van de vorm
:<math> r_1 v_1 + r_2 v_2 + \ldots + r_k v_k, \!</math>
waar ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, …, ''v''<sub>''k''</sub> vectoren en ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, …, ''r''<sub>''k''</sub> scalairen zijn, wordt de '''lineaire combinatie''' van de vectoren ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, …, ''v''<sub>''k''</sub> met coëfficiënten ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, …, ''r''<sub>''k''</sub> genoemd. De verzameling van alle lineaire combinaties van vectoren ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, …, ''v''<sub>''k''</sub> wordt hun '''omhulsel''' genoemd. Een lineaire combinatie van enig systeem van vectoren met allemaal nul-coëfficiënten is de nulvector van ''V''. Als dit de enige manier is om de nulvector als een lineaire combinatie van ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, …, ''v''<sub>''k''</sub> uit te drukken dan zijn deze vectoren '''lineair onafhankelijk'''. Een lineaire onafhankelijke verzameling van vectoren, die een vectorruimte ''V'' omhult, is een '''basis''' van ''V''. Als een vectorruimte een eindige basis toelaat dan hebben enige twee basissen hetzelfde aantal elementen (die de '''dimensie''' van ''V'' wordt genoemd) en is ''V'' een eindig-dimensionale vectorruimte. Deze theorie kan worden uitgebreid tot oneindig-dimensionale ruimten.
Er bestaat een belangrijk verschil tussen een van [[coördinaten]] voorziene ''n''-ruimte '''R'''<sup>''n''</sup>
en een algemene eindig-dimensionale vectorruimte ''V''. Terwijl '''R'''<sup>''n''</sup> een '''standaardbasis''' {''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, …, ''e''<sub>''n''</sub>} heeft, is een vectorruimte ''V'' typisch niet uitgerust met een basis . Ook bestaan er vele verschillende basissen (alhoewel zij allen hetzelfde, aan de dimensie van ''V'' gelijk zijnde aantal elementen hebben). Het hebben van een specifieke basis {''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub>} van ''V'' laat toe dat men een '''coördinatensysteem''' in ''V'' construeert: de vector met coördinaten (''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, …, ''r''<sub>''n''</sub>) is de lineaire combinatie
:<math> r_1 v_1 + r_2 v_2 + \ldots + r_n v_n. \!</math>
De voorwaarde dat ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub> ''V'' omspant, garandeert dat aan elke vector ''v'' coördinaten kunnen worden toegewezen, terwijl de lineaire onafhankelijkheid van ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, …, ''v''<sub>''n''</sub> verder verzekert dat deze coördinaten op een unieke manier worden bepaald (dat wil zeggen dat er slechts een lineaire combinatie van de basisvectoren is, die gelijk is aan ''v''). Wanneer op deze manier eenmaal een basis van een vectorruimte ''V'' over '''F''' is gekozen, kan ''V'' worden geïdentificeerd met de van coördinaten voorzien ''n''-ruimte '''F'''<sup>''n''</sup>. Onder deze identificatie corresponderen optelling en scalaire vermenigvuldiging van vectoren in ''V'' met optelling en scalaire vermenigvuldiging van hun coördinatenvectoren in '''F'''<sup>''n''</sup>. Als bovendien ''V'' en ''W'' respectievelijk een ''n''-dimensionale en ''m''-dimensionale vectorruimte over '''F''' zijn, en er voor zowel ''V'' als ''W'' een basis is vastgesteld, dan kan elke lineaire transformatie ''T'': ''V'' → ''W'' kan worden gecodeerd door een ''M'' × ''n'' [[matrix (wiskunde)|matrix]] ''A'' met elementen in het veld '''F'''. Deze matrix noemt men de matrix van ''T'' met betrekking tot deze basissen. In grote lijnen hierom kan men de studie van axiomatisch gedefinieerde, lineaire transformaties vervangen door de studie van concrete matrices. Dit is een belangrijke techniek in de lineaire algebra.
== Enkele nuttige stellingen ==
* Elke vectorruimte heeft een [[basis (lineaire algebra)|basis]].
* Elke twee bases van dezelfde vectorruimte hebben dezelfde [[kardinaliteit]]; of op equivalente wijze de [[dimensie (lineaire algebra)|dimensie]] van een vectorruimte is welgedefineerd.
* Een [[vierkante matrix]] is [[dan en slechts dan als|dan en slechts dan]] [[inverse matrix|inverteerbaar]] als haar [[determinant]] niet nul is.
* Een matrix is dan en slechts dan [[inverse matrix|inverteerbaar]] als de [[lineaire afbeelding]] die wordt weergegeven door de matrix een [[isomorfisme]] is.
* Als een vierkante matrix een linker- of rechterinverse heeft dan is deze matrix inverteerbaar (zie [[inverse matrix]] voor andere equivalente beweringen).
* Een matrix is dan en slechts dan [[positief-semidefiniet]] als elk van de [[Eigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarden]] groter dan of gelijk aan nul is.
* Een matrix is dan en slechts dan [[positief-definiete matrix|positief definiet]] als elk van haar [[Eigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarden]] groter dan nul is.
* Een ''n''×''n'' matrix is dan en slechts dan diagonaliseerbaar (dat wil zeggen dat er een [[inverse matrix|inverteerbare matrix]] ''P'' en een [[diagonaalmatrix]] ''D'' bestaan, zodanig dat ''A'' = ''PDP''<sup>−1</sup>) als deze matrix ''n'' lineair onafhankelijke [[Eigenwaarde (wiskunde)|eigenvectoren]] heeft.
* De [[spectraalstelling]] beweert dat een matrix dan en slechts dan [[orthogonale matrix|orthogonaal]] diagonaliseerbaar is als deze matrix [[symmetrische matrix|symmetrisch]] is.
== Grondbegrippen binnen de lineaire algebra ==
* [[vectorruimte]]
* [[lineaire deelruimte|(lineaire) deelruimte]]
* [[lineair onafhankelijk]]
* [[lineaire combinatie]]
* [[basis van een vectorruimte]]
* [[Dimensie (lineaire algebra)|dimensie van een vectorruimte]]
* [[isomorfismen van vectorruimtes]]
* [[basistransformatie]]
* [[voortbrengen (lineaire algebra)|voortbrengen]]
* [[lineair omhulsel]]
* [[Matrix (wiskunde)|matrix]]
* [[rang van een matrix]]
* [[getransponeerde matrix]]
* [[vierkante matrix]]
* [[symmetrische matrix]]
* [[diagonaalmatrix]]
* [[eenheidsmatrix]]
* [[geadjugeerde matrix]]
* [[inverse matrix]]
* [[hermitische matrix]]
* [[determinant]]
* [[eigenwaarde (wiskunde)|eigenwaarde]]
* [[eigenvector]]
* [[karakteristieke polynoom]] (<math>det(A - \lambda I)</math>)
* [[inwendig product]]
* [[uitwendig product]]
* [[lineaire afbeelding]]
* [[matrix van basisverandering]]
* [[orthogonaal]]
* [[orthonormale basis|orthonormaal]]
* [[superpositie (natuurkunde)]]
== Externe link ==
* {{en}} [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/index.htm Linear Algebra video lectures by [[Gilbert Strang]]]
{{Navigatie wiskunde}}
{{Wikibooks|Lineaire algebra|Cursus lineaire algebra}}
[[Categorie:Lineaire algebra|*]]
[[af:Lineêre algebra]]
[[ar:جبر خطي]]
[[az:Xətti cəbr]]
[[be:Лінейная алгебра]]
[[bg:Линейна алгебра]]
[[bn:রৈখিক বীজগণিত]]
[[bs:Linearna algebra]]
[[ca:Àlgebra lineal]]
[[cs:Lineární algebra]]
[[da:Lineær algebra]]
[[de:Lineare Algebra]]
[[el:Γραμμική άλγεβρα]]
[[en:Linear algebra]]
[[eo:Lineara algebro]]
[[es:Álgebra lineal]]
[[eu:Aljebra lineal]]
[[fa:جبر خطی]]
[[fi:Lineaarialgebra]]
[[fr:Algèbre linéaire]]
[[gan:線性代數]]
[[gl:Álxebra lineal]]
[[he:אלגברה לינארית]]
[[hr:Linearna algebra]]
[[hu:Lineáris algebra]]
[[id:Aljabar linear]]
[[is:Línuleg algebra]]
[[it:Algebra lineare]]
[[ja:線型代数学]]
[[ka:წრფივი ალგებრა]]
[[ko:선형대수학]]
[[lt:Tiesinė algebra]]
[[lv:Lineārā algebra]]
[[mk:Линеарна алгебра]]
[[ms:Algebra linear]]
[[nn:Lineær algebra]]
[[no:Lineær algebra]]
[[pl:Algebra liniowa]]
[[pms:Àlgebra linear]]
[[pt:Álgebra linear]]
[[ro:Algebră liniară]]
[[ru:Линейная алгебра]]
[[scn:Algibbra liniari]]
[[sh:Linearna algebra]]
[[simple:Linear algebra]]
[[sk:Lineárna algebra]]
[[sl:Linearna algebra]]
[[sq:Algjebra lineare]]
[[sr:Линеарна алгебра]]
[[sv:Linjär algebra]]
[[ta:நேரியல் இயற்கணிதம்]]
[[tg:Алгебраи хаттӣ]]
[[th:พีชคณิตเชิงเส้น]]
[[tr:Doğrusal cebir]]
[[uk:Лінійна алгебра]]
[[ur:لکیری الجبرا]]
[[vi:Đại số tuyến tính]]
[[yi:ליניארע אלגעברע]]
[[yo:Áljẹ́brà onígbọrọ]]
[[zh:线性代数]]
| 