Stelsel van lineaire vergelijkingen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Verwijderde stuk weer teruggezet. Wat is er mis mee ? |
||
Regel 1:
[[Bestand:Secretsharing-3-point.png|thumb|Een lineair systeem in drie [[variabele]]n legt een verzameling [[Vlak (meetkunde)|vlakken]] vast. Het [[snijpunt]] van de vlakken is de oplossing van het lineaire systeem.]]
In de [[wiskunde]] is een '''stelsel van lineaire vergelijkingen''' (ook '''lineair systeem''') een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] lineaire vergelijkingen, waarin dezelfde [[variabele]]n terugkeren. Een voorbeeld van een stelsel van drie lineaire vergelijkingen is
:<math>\begin{alignat}{7}
Regel 7 ⟶ 6:
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 0 &
\end{alignat}</math>
met de drie
:<math>\begin{alignat}{2}
x & = & 1 \\
Regel 15 ⟶ 14:
Deze oplossing is voor alle drie vergelijkingen geldig. <ref>De lineaire algebra, zoals in dit artikel wordt besproken, is een reeds lang gevestigde wiskundige discipline, waarvoor zeer veel bronnen zijn. Bijna al het materiaal in dit artikel kan worden gevonden in een willekeurig leerboek lineaire algebra op universitair niveau.</ref>
In de wiskunde is de theorie van lineaire
==
Een algemeen systeem van ''m'' lineaire vergelijkingen met ''n''
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
Regel 25 ⟶ 24:
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m. \\
\end{alignat}</math>
Hier zijn <math>x_1,\ x_2,...,x_n</math> de onbekenden en zijn <math>a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}</math> de [[coëfficiënt]]en van het systeem. <math>b_1,\ b_2,...,b_m</math> zijn de [[constant (eigenschap)|
Normaal zijn de coëfficiënten en onbekenden [[geheel getal|gehele getallen]] of [[reëel getal|reële getallen]]. Theoretisch zijn ook [[rationaal getal|rationale getallen]], [[complex getal|complexe getallen]] of [[element (wiskunde)|elementen]] van abstracte [[algebraïsche structuur|algebraïsche structuren]] mogelijk, maar daar wordt eigenlijk nooit mee gerekend.▼
▲
Dit stelsel van lineaire vergelijkingen is equivalent aan een [[matrix (wiskunde)|matrixvergelijking]] van de vorm▼
=== Vectorvergelijking ===
Een nuttige zienswijze is om elke onbekende als een gewicht voor een [[kolomvector]] in een [[lineaire combinatie]] te zien.
:<math>
x_1 \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix} +
x_2 \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix} +
\cdots +
x_n \begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}
</math>
Hierdoor kan men gebruikmaken van de taal en theorie van de ''[[vectorruimte]]n'' (of meer algemeen, ''[[moduul|modulen]]''). De collectie van alle mogelijke [[lineaire combinatie]]s van de vectoren aan de linkerzijde van de vergelijking heet bijvoorbeeld het ''[[lineair omhulsel|lineair opspansel]]'' en de vergelijkingen hebben een oplossing precies wanneer de vector aan de rechterzijde van de vergelijking binnen dit lineaire opspansel valt. Als elke vector binnen dit opspansel precies één uitdrukking als een lineaire combinatie van de gegeven vectoren aan de linkerzijde heeft, dan is de oplossing uniek. In ieder geval heeft het opspansel een ''[[basis (lineaire algebra)|basis]]'' van [[Lineaire onafhankelijkheid|lineair onafhankelijke]] vectoren die precies één expressie garanderen; het aantal vectoren in deze basis (de ''[[dimensie (lineaire algebra)|dimensie]]'') kan niet groter zijn dan ''m'' of ''n'', maar dit aantal kan ook kleiner zijn. Dit is belangrijk, want als wij ''m'' onafhankelijke vectoren hebben, is een oplossing gegarandeerd, ongeacht de rechterkant van de vergelijking, anders is dit niet het geval.
=== Matrixvergelijking ===
▲
:<math>A\bold{x}=\bold{b}</math>
waar ''A'' een ''m''×''n'' matrix is, '''x''' een [[kolomvector]] met ''n'' elementen, en '''b''' is een kolomvector met ''m'' elementen.
:<math>
A=
Regel 54 ⟶ 69:
\end{bmatrix}
</math>
Het aantal vectoren in de basis voor het opspansel wordt nu uitgedrukt als de ''[[rang (lineaire algebra)|rang]]'' van de matrix.
[[Bestand:Intersecting Lines.svg|thumb|De oplossingsverzameling voor de vergelijkingen ''x'' – ''y'' = –1 en 3 ''x'' + ''y'' = 9 is het enkele punt (2, 3).]]▼
Een oplossing van een stelsel van lineaire vergelijkingen is een toekenning van waarden aan de variabelen ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'' zodanig dat aan elk van de vergelijkingen wordt voldaan. De [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] van alle mogelijke oplossingen wordt de [[oplossingsverzameling]] genoemd.▼
Een lineair systeem kan zich op een van drie mogelijke manieren gedragen:▼
# Het systeem heeft oneindig veel oplossingen, dan heet het stelsel een onbepaald stelsel▼
# Het systeem heeft een enkele unieke oplossing.▼
# Het systeem heeft geen oplossingen, dan heet het stelsel een vals stelsel▼
Deze drie mogelijke gevallen kunnen gekoppeld worden aan twee stellingen. De eerste geeft informatie over het bestaan van oplossingen, de tweede over het aantal.▼
De uitgebreide matrix [A|b] ontstaat door in de matrix A het rechterlid als extra kolom toe te voegen :
:<math> [A|b] \, = \,▼
▲<math> [A|b] \, = \,
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
Regel 76 ⟶ 80:
\end{bmatrix} </math>
== Oplossingsverzameling ==
* Stelling 1 : Een stelsel Ax=B is oplosbaar, enkel en alleen indien rang[A] = rang[A|b]▼
▲[[Bestand:Intersecting Lines.svg|thumb|De oplossingsverzameling voor de vergelijkingen ''x'' – ''y'' = –1 en 3 ''x'' + ''y'' = 9 is het enkele punt (2, 3).]]
▲Een oplossing van een stelsel van lineaire vergelijkingen is een toekenning van waarden aan de variabelen ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'' zodanig dat aan elk van de vergelijkingen wordt voldaan. De [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] van alle mogelijke oplossingen wordt de [[oplossingsverzameling]] genoemd.
▲Een lineair systeem kan zich op een van drie mogelijke manieren gedragen:
▲# Het systeem heeft een enkele unieke oplossing.
▲Deze drie mogelijke gevallen kunnen gekoppeld worden aan twee stellingen. De eerste geeft informatie over het bestaan van oplossingen, de tweede over het aantal
▲* Stelling 1 : Een stelsel Ax=B is oplosbaar, enkel en alleen indien [[rang_(lineaire algebra|rang]][A] = rang[A|b]
* Stelling 2 : Indien stelling 1 voldaan is, dan : het aantal vrije oplossingen = het aantal variabelen - rang[A]
Regel 82 ⟶ 98:
Bij een strijdig stelsel zal de rang[A] < rang[A|b]. Dit betekent dat, door de vergelijkingen te herschrijven, een vergelijking kan worden bekomen waarin alle coefficienten van de onbekenden nul zijn, maar met een rechterlid verschillend van nul.
Om de [[rang van een matrix]] op eenvoudige manier te kunnen zien wordt de uitgebreide matrix [A|b] best in [[echelonvorm]] gezet.
=== Meetkundige interpretatie ===
Voor een systeem met twee variabelen (''x'' en ''y'') bepaalt elke lineaire vergelijking een [[
Voor drie variabelen bepaalt elke lineaire vergelijking een [[Vlak (meetkunde)|vlak]] in de [[driedimensionaal|drie-dimensionale]] [[ruimte (wiskunde)|ruimte]]. De oplossingsverzameling is de doorsnede van deze vlakken en kan bestaan uit een vlak, een lijn, een enkel punt, of uit de lege verzameling.
Voor ''n'' variabelen bepaalt elke lineaire vergelijkingen een [[hypervlak]] in de [[n-dimensionale ruimte|''n''-dimensionale ruimte]]. De oplossingsverzameling is de doorsnede van deze hypervlakken en kan bestaan uit een
=== Algemeen gedrag ===
Regel 96 ⟶ 112:
# Meestal heeft een lineair stelsel met evenveel vergelijkingen en onbekenden een unieke oplossing.
# Meestal heeft een lineair stelsel met meer vergelijkingen dan onbekenden geen enkele oplossing.
In het eerste geval is de [[Dimensie (algemeen)|dimensie]] van de oplossingsverzameling meestal gelijk aan ''n'' – ''m'' waar ''n'' staat voor het aantal variabelen en ''m'' voor het aantal vergelijkingen.
De onderstaande afbeeldingen illustreren deze trichotomie in het geval van twee variabelen:
Regel 111 ⟶ 127:
Het eerste systeem heeft oneindig veel oplossingen, namelijk alle punten op de blauwe lijn. Het tweede systeem heeft een enkele unieke oplossing, namelijk het [[snijpunt]] van de twee lijnen. Het derde systeem heeft geen oplossing, want de drie lijnen delen geen gemeenschappelijk punt.
Houd er rekening mee dat de afbeeldingen hierboven alleen het meest voorkomende geval tonen. Het is mogelijk dat een lineair stelsel van twee vergelijkingen en twee onbekenden geen enkele oplossing heeft (bijvoorbeeld als de twee lijnen parallel aan elkaar lopen). Ook kan een stelsel van drie vergelijkingen en twee onbekenden wel degelijk oplosbaar zijn (bijvoorbeeld als de drie lijnen elkaar snijden in een punt snijden). In het algemeen zal een stelsel van lineaire vergelijkingen zich anders dan verwacht gedragen als de vergelijkingen zijn [[lineaire onafhankelijkheid|'''lineair afhankelijk''']] zijn, of indien twee of meer van de vergelijkingen '''inconsistent''' zijn.
== Voetnoten ==
| |||