Compacte ruimte: verschil tussen versies

In de [[topologie|algemene- en metrische topologie]], deelgebieden binnen de [[wiskunde]], is een '''compacte ruimte''' een abstracte wiskundige [[ruimte (wiskunde)|ruimte]], waarin indien men, intuïtief gesproken, een [[oneindige verzameling|oneindig]] aantal "stappen" in deze ruimte doet, men uiteindelijk willekeurig dicht bij enige ander punt in deze ruimte kan komen. Een [[gesloten verzameling|gesloten-]] en [[Begrensdheid|begrensde]] [[deelverzameling]] (zoals een [[interval (wiskunde)|gesloten interval]] van een [[rechthoek]]) van een [[Euclidische ruimte]] is dus compact, omdat iemands stappen uiteindelijk wel gedwongen uitkomen in de buurt van een punt van de verzameling, een resultaat dat bekend staat als de [[stelling van Bolzano-Weierstrass]], terwijl de Euclidische ruimte zelf geen compacte ruimte is, dit omdat men oneindig veel geljkmatige stappen in enige gegeven richting kan zetten zonder ooit heel dicht in de buurt te komen van enig ander punt van de ruimte.

 

 

Verschillende gelijkwaardige noties van compactheid zoals [[sequentiële compactheid]] en [[limietpunt compactheid]], kunnen in de algemene [[metrische ruimte]]n worden ontwikkeld. In het algemeen zijn in [[topologische ruimte]]n de verschillende noties van compactheid echter niet noodzakelijkerwijs gelijkwaardig, en de meest bruikbare notie, in 1929 geïntroduceerd door [[Pavel Aleksandrov]] en [[Pavel Urysohn]], involveert het bestaan van zekere [[eindige verzameling|eindige]] [[familie van verzamelingen|families]] van [[open verzameling]]en, die de ruimte in die zin "afdekken" dat elk punt van die ruimte in enige [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] moet liggen die deel uitmaakt van deze familie. Deze meer subtiele definitie laat compacte ruimten zien als veralgemeningen van [[eindige verzameling]]en. In ruimten, die in deze laatste zin compact zijn, is het vaak mogelijk om informatie samen te voegen, die [[lokale eigenschap|lokaal]] van toepassing is; dat is in een [[omgeving (wiskunde)|omgeving]] van elk punt - in corresponderende beweringen die van toepassing zijn door de gehele ruimte, en vele [[stelling (wiskunde)|stelling]]en zijn van deze aard.

In de 19e eeuw werden verschillende uiteenlopende wiskundige eigenschappen voor het eerst begrepen die later zouden worden gezien als gevolgen van compactheid. Aan de ene kant was [[Bernard Bolzano]] zich ervan bewust dat elke begrensde rij van punten (bijvoorbeeld in een lijn of in het vlak) uiteindelijk willekeurig dichtbij enig ander punt moet komen, dat een [[limietpunt]] wordt genoemd. Bolzano's bewijs was gebaseerd op de [[bisectie|methode van bisectie]]: de rij werd in een interval geplaatst, dat vervolgens in twee gelijke intervallen werd verdeeld, en een deel dat oneindig veel termen van de rij bevatte werd geselecteerd. Dit proces kon vervolgens worden herhaald door het resulterende kleinere interval in kleinere en kleinere delen op te delen totdat het gewenste limietpunt wordt bereikt. De volle betekenis van de stelling van Bolzano, en zijn methode van bewijs, zou pas bijna 50 jaar later doordringen, toen deze stelling werd herontdekt door [[Karl Weierstrass]].<ref>{{aut|[[Morris Kline]]}}, 1972, pag: 952-953</ref>

 

 

Tegen het begin van de twintigste eeuw begonnen resultaten, die vergelijkbaar waren met die van Arzelà en Ascoli zich op te stapelen op het gebied van [[integraalvergelijking]]en, zoals onderzocht door [[David Hilbert]] en [[Erhard Schmidt]]. Voor een bepaalde klasse van [[Greense functie|Green-functie]]s die voortkomt uit oplossingen van integraalvergelijkingen, had Schmidt aangetoond dat een eigenschap, die analoog was aan de stelling van Arzela-Ascoli opging in de zin van [[gemiddelde convergentie]] - of convergentie in wat later de "[[Hilbertruimte]]" zou worden genoemd. Dit leidde uiteindelijk tot de notie van een [[compacte operator]] als uitloper van de algemene notie van een compacte ruimte. Het was [[Maurice René Fréchet|Maurice Fréchet]], die in [[1906]] de essentie van de Bolzano-Weierstrass eigenschap destilleerde en met de term ''compactheid'' op de proppen kwam om aan dit algemene fenomeen te refereren.