Stelsel van lineaire vergelijkingen: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k r2.7.2+) (Robot: toegevoegd: ta:நேரியல் சமன்பாடுகளின் தொகுப்பு |
k Fix parameter |
||
Regel 1:
[[Bestand:Secretsharing-3-point.png|thumb
In de [[wiskunde]] is een '''stelsel van lineaire vergelijkingen''' (ook '''lineair systeem''') een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] lineaire vergelijkingen, waarin dezelfde [[variabele]]n terugkeren. Een voorbeeld van een stelsel van drie lineaire vergelijkingen is
:<math>\begin{alignat}{7}
3x &&\; + \;&& 2y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 & \\
Regel 8:
met de drie onbekenden <math>x, y, z \,</math>. Een oplossing van een lineair systeem is de toewijzing van getallen aan de variabelen, zodanig dat tegelijkertijd aan alle vergelijkingen wordt voldaan. Een oplossing voor het bovenstaande lineaire systeem is:
:<math>\begin{alignat}{2}
x & = &
y & = & -2 \\
z & = & -2
Regel 19:
Een algemeen systeem van ''m'' lineaire vergelijkingen met ''n'' [[onbekende]]n kan worden geschreven als
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2
\vdots\;\;\; &&
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m.
\end{alignat}</math>
Hier zijn <math>x_1,\ x_2,...,x_n</math> de onbekenden en zijn <math>a_{11},\ a_{12},...,\ a_{mn}</math> de [[coëfficiënt]]en van het systeem. <math>b_1,\ b_2,...,b_m</math> zijn de [[constant (eigenschap)|constante]] termen.
Regel 73:
De uitgebreide matrix [A|b] ontstaat door in de matrix A het rechterlid als extra kolom toe te voegen :
<math> [A|b] \, = \,
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\
Regel 80:
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m
\end{bmatrix} </math>
== Oplossingsverzameling ==
[[Bestand:Intersecting Lines.svg|thumb
Een oplossing van een stelsel van lineaire vergelijkingen is een toekenning van waarden aan de variabelen ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'' zodanig dat aan elk van de vergelijkingen wordt voldaan. De [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] van alle mogelijke oplossingen wordt de [[oplossingsverzameling]] genoemd.
Een lineair systeem kan zich op een van drie mogelijke manieren gedragen:
# Het systeem heeft oneindig veel oplossingen.= onbepaald stelsel
# Het systeem heeft een enkele unieke oplossing.
# Het systeem heeft geen oplossingen.= vals stelsel
Deze drie mogelijke gevallen kunnen gekoppeld worden aan twee stellingen. De eerste geeft informatie over het bestaan van oplossingen, de tweede over het aantal:
* Stelling 1 : Een stelsel Ax=B is oplosbaar, enkel en alleen indien
* Stelling 2 : Indien stelling 1 voldaan is, dan : het aantal vrije oplossingen = het aantal variabelen - rang[A]
Indien de uitgebreide matrix in echelonvorm staat zijn eventuele vrije oplossingen op eenvoudige wijze te herkennen: het zijn die variabelen die in de echelonvorm geen leidende 1 in hun kolom hebben.
Bij een strijdig stelsel zal de rang[A] < rang[A|b]. Dit betekent dat, door de vergelijkingen te herschrijven, een vergelijking kan worden bekomen waarin alle coefficienten van de onbekenden nul zijn, maar met een rechterlid verschillend van nul.
Om de [[rang van een matrix]] op eenvoudige manier te kunnen zien wordt de uitgebreide matrix [A|b] best in [[echelonvorm]] gezet.
=== Meetkundige interpretatie ===
Voor een systeem met twee variabelen (''x'' en ''y'') bepaalt elke lineaire vergelijking een [[lijn (meetkunde)|lijn]] op het ''xy''-vlak. Omdat een oplossing van een stelsel van lineaire vergelijkingen moet voldoen aan alle vergelijkingen die deel uitmaken van dit stelsel, is de oplossingsverzameling de [[doorsnede (verzamelingenleer)|doorsnede]] van deze lijnen. Deze doorsnede kan in dit geval bestaan uit een lijn, een enkel [[punt (meetkunde)|punt]], of uit de [[lege verzameling]].
Voor drie variabelen bepaalt elke lineaire vergelijking een [[Vlak (meetkunde)|vlak]] in de [[driedimensionaal|drie-dimensionale]] [[ruimte (wiskunde)|ruimte]]. De oplossingsverzameling is de doorsnede van deze vlakken en kan bestaan uit een vlak, een lijn, een enkel punt, of uit de lege verzameling.
Voor ''n'' variabelen bepaalt elke lineaire vergelijkingen een [[hypervlak]] in de [[n-dimensionale ruimte|''n''-dimensionale ruimte]]. De oplossingsverzameling is de doorsnede van deze hypervlakken en kan bestaan uit een [[flat (meetkunde)|flat]] van elke dimensie.
=== Algemeen gedrag ===
In het algemeen wordt het gedrag van een stelsel van lineaire vergelijkingen bepaald door de verhouding tussen het aantal vergelijkingen en het aantal onbekenden:
# Meestal heeft een lineair stelsel met minder vergelijkingen dan onbekenden oneindig veel oplossingen.
# Meestal heeft een lineair stelsel met evenveel vergelijkingen en onbekenden een unieke oplossing.
# Meestal heeft een lineair stelsel met meer vergelijkingen dan onbekenden geen enkele oplossing.
In het eerste geval is de [[Dimensie (algemeen)|dimensie]] van de oplossingsverzameling meestal gelijk aan ''n'' – ''m'' waar ''n'' staat voor het aantal variabelen en ''m'' voor het aantal vergelijkingen.
Regel 134 ⟶ 131:
== Voetnoten ==
{{
== Bronnen ==
* {{en}} {{aut|Anton Howard}}, Elementary Linear Algebra (Applications Version), ISBN 978-0471669593, Wiley International, 9e editie, 2005
* {{en}} {{aut|Steven J. Leon}}, Linear Algebra With Applications, Pearson Prentice Hall, ISBN 978-0131857858, 7e editie, 2006
* {{en}} {{aut|[[Gilbert Strang]]}}, Linear Algebra and Its Applications, Brooks Cole, ISBN 978-0030105678, 4e editie, 2005
{{DEFAULTSORT:Stelsel van lineaire vergelijkingen}}
| |||