Moleculaire symmetrie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
meer over (ir)reducibele matrixrepresentaties |
|||
Regel 1:
'''Moleculaire symmetrie''' verwijst naar de [[Symmetrie|symmetrie-elementen]] in een [[
Een symmetrie-element
▲=== Symmetrie-elementen en hun wiskundige voorstelling ===
▲Een symmetrie-element in een molecule is een geometrisch entiteit (een [[Punt (wiskunde)|punt]], [[Lijn (meetkunde)|lijn]] of [[Vlak (meetkunde)|vlak]]) die een [[symmetrie-operatie]] ([[Inversie (meetkunde)|inversie]], [[Rotatie (meetkunde)|rotatie]] of [[Spiegeling (meetkunde)|spiegeling]]) inhoudt en wel zodanig dat het beeld van de molecule voor en na de operatie gelijk is. Aangezien de [[energie]] van de molecule hierbij niet veranderd is, zal de symmetrie-operator {{Math|Ŝ}} [[Commutator (wiskunde)|commuteren]] met de [[Hamiltonformalisme|Hamiltoniaan]]:
:<math> \hat{H} \hat{S} = \hat{S} \hat{H} </math>
Regel 18 ⟶ 17:
* De [[rotatie-reflectie-as]] (S<sub>n</sub>)
Deze kunnen allen worden
<center>'''Tabel 1. Transformatiematrices'''</center>
{| align="center" class="wikitable" style="margin-left:1em"
! style="text-align:center" width="30%"| '''Symmetrie-element'''
Regel 61 ⟶ 59:
|}
Een
Voor iedere puntgroep kan men een veelheid van matrixrepresentaties construeren. Binnen één matrixrepresentatie hebben alle matrices dezefde orde n. Een representatie van orde n heet '''reducibel''' als zijn set matrices door een similariteitsoperatie herleid kan worden tot een set van matrices van een orde kleiner dan n; de nieuwe set is dan ook een representatie van de betreffende puntgroep. Een representatie heet '''irreducibel''', als er geen similariteitsoperatie meer te vinden is, die al zijn matrices kan herleiden tot een kleinere orde.
De reducibiliteit van representaties hangt samen met het feit dat de transformatiematrices in de meeste gevallen herleid kunnen worden tot diagonale matrices of teniminste tot [[Blokdiagonale matrix|blokdiagonale]] matrices.
Transformatiematrices zijn vierkante matrices. Een belangrijke eigenschap van een [[vierkante matrix]] is zijn [[Spoor (lineaire algebra)|spoor]], dit is de som van de diagonaalelementen (de matrixelementen op de [[hoofddiagonaal]]). Het spoor wordt in de groepentheorie ook karakter genoemd. De karakters worden in een [[karaktertabel]] samengevat, geordend naar symmetrie-elementen (de kolommen) en representaties (de rijen). Het algemene symbool voor representaties is {{Math|Γ}}<sub>i</sub>.
Als voorbeeld kan [[water]] gelden, dat een [[gebogen moleculaire geometrie]] bezit en behoort tot de puntgroep C<sub>2v</sub>. Deze puntgroep kent als symmetrie-elementen de eenheid, de C<sub>2</sub>-rotatie-as en 2 spiegelvlakken. De sporen van de overeenkomstige transformatiematrices uit tabel 1 vormen een reducibele representatie {{Math|Γ}}<sub>''a''</sub> van de puntgroep C<sub>2v</sub>, zoals getoond in tabel 2. Deze tabel bevat ook de 4 irreducibele representaties van de puntgroep C<sub>2v</sub>. Men ziet dat in dit voorbeeld {{Math|Γ}}<sub>''a''</sub> ={{Math|Γ}}<sub>1</sub> + {{Math|Γ}}<sub>2</sub> + {{Math|Γ}}<sub>3</sub>. De [[representatietheorie]] houdt zich o.a. bezig met de relaties tussen karakters van representaties en veel toepassingen van de theorie baseren zich op karaktertabellen.
<center>'''Tabel 2. Voorbeeld van een karaktertabel '''</center>
{| align="center" class="wikitable" border="1" width="50%"
|-
! puntgroep C<sub>2v</sub>
! E
! C<sub>2</sub>
Regel 74 ⟶ 79:
! σ<sub>v</sub>'
|-
| style="text-align:center" | irreducibele representatie {{Math|Γ}}<sub>1</sub> || style="text-align:center" |
|-
| style="text-align:center" | irreducibele representatie {{Math|Γ}}<sub>2</sub> || style="text-align:center" | 1 || style="text-align:center" | -1 || style="text-align:center" | -1 || style="text-align:center" | 1
|-
| style="text-align:center" | irreducibele representatie {{Math|Γ}}<sub>3</sub> || style="text-align:center" | 1 || style="text-align:center" | -1 || style="text-align:center" | 1 || style="text-align:center" | -1
|-
| style="text-align:center" | irreducibele representatie {{Math|Γ}}<sub>4</sub> || style="text-align:center" | 1 || style="text-align:center" | 1 || style="text-align:center" | -1 || style="text-align:center" | -1
|-
| style="text-align:center" | reducibele representatie {{Math|Γ}}<sub>''a''</sub> || style="text-align:center" | 3 || style="text-align:center" | -1 || style="text-align:center" | 1 || style="text-align:center" | 1
|}
== Toepassingsgebied ==
Toepassing van de groepentheorie in de [[theoretische chemie]] is een fundamenteel aspect bij het bestuderen van de symmetrie van [[Moleculair orbitaal|
[[Categorie:Symmetrie]]
|