Cauchyrij: verschil tussen versies

Een '''Cauchyrij''' in een [[metrische ruimte]] ''V'' met afstandsfunctie ([[metriek]]) ''d'' is een rij <math>(x_n)_{n\ge 1} = (x_1,x_2,x_3,\ldots)</math> in ''V'' die voldoet aan hetde volgende voorwaarde:

:Voor elk [[reëel getal]] ε > 0 bestaat er een [[natuurlijk getal]] ''N'' zodatzodanig dat voor alle natuurlijke getallen ''n'' en ''m'' die groter zijn dan ''N'', geldt dat <math>d(x_n,x_m) < \epsilon</math>.

Het begrip Cauchyrij speelt een rol in de definitie van een ''volledige'' metrische ruimte. Een metrische ruimte ''V'' wordt ''[[volledig (topologie)|volledig]]'' genoemd als elke Cauchyrij die binnen die verzameling definieerbaar is, [[convergentie (wiskunde)|convergeert]] (naar een limietwaarde die dus ook binnen die verzameling moet liggen). Het bekendste voorbeeld hiervan zijn de reële getallen; de verzameling <math>\mathbb{R}</math> van de reële getallen is gedefinieerd als de kleinste volledige metrische ruimte die de verzameling <math>\mathbb{Q}</math> van de [[rationaal getal|rationale getallen]] bevat. In <math>\mathbb{R}</math> is elke Cauchyrij dus convergent.