Formeel systeem: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
clean up (http://taaladvies.net/taal/advies/vraag/836), replaced: → (3), van te voren → van tevoren met AWB |
k Linkfix ivm sjabloonnaamgeving / parameterfix |
||
Regel 1:
Een '''formeel systeem''' is een combinatie van een [[formele taal]] en een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] [[afleidingsregel|afleidings-]] of transformatieregels of [[axioma]]'s die [[zin (taalkunde)|zin]]nen in de [[formele taal]] omzetten in nieuwe zinnen. Formele systemen worden gebruikt als [[formeel bewijs]]. Vrijwel alle formele systemen maken gebruik van de [[axiomatische methode]] om nieuwe [[uitdrukking (wiskunde)|uitdrukking]]en af te leiden uit oude die eerder in het systeem zijn uitgedrukt. De oude uitdrukkingen die worden verondersteld waar te zijn worden axioma's genoemd, de nieuwe uitdrukkingen heten [[stelling (logica)|stelling]]en.
Voorbeelden van formele systemen zijn de [[propositielogica|propositie-]], [[predicatenlogica|predicaten-]] en andere [[logica (wetenschap)|logica]]'s.
Regel 6:
== Beschrijving ==
In de [[wiskunde]], [[logica]] en [[grammatica]] bestaan formele systemen uit de volgende elementen:
Regel 18 ⟶ 17:
== Soorten formele systemen ==
==== Formele taal ====
Elk formeel systeem heeft zijn eigen formele taal (niet te verwarren met [[taal]] in de traditionele betekenis). Formele taal bestaat uit een eindige reeks primitieve [[symbool|symbolen]], die op hun beurt opgesteld volgens formatieregels, die op hun beurt zijn afgeleid van eerdere axioma's. Hierdoor bestaat het formele systeem als geheel uit een eindige reeks primitieve symbolen, die zijn gevormd in overeenstemming met vaste uit eerder bepaalde axioma's. Een "formele taal" kan dus worden gedefinieerd als een eindige aaneenschakeling ''A'' van symbolen uit een alfabet α.
▲{{Hoofdartikel|Formele taal}}
▲Elk formeel systeem heeft zijn eigen formele taal (niet te verwarren met [[taal]] in de traditionele betekenis). Formele taal bestaat uit een eindige reeks primitieve [[symbool|symbolen]], die op hun beurt opgesteld volgens formatieregels, die op hun beurt zijn afgeleid van eerdere axioma's. Hierdoor bestaat het formele systeem als geheel uit een eindige reeks primitieve symbolen, die zijn gevormd in overeenstemming met vaste uit eerder bepaalde axioma's. Een "formele taal" kan dus worden gedefinieerd als een eindige aaneenschakeling ''A'' van symbolen uit een alfabet α.
==== Formele grammatica ====
▲{{Hoofdartikel|Formele grammatica}}
In zowel de [[computerwetenschap]] als de [[linguïstiek]] is een "formele grammatica" een grammatica die een nauwkeurige beschrijving van een formele of [[natuurlijke taal|natuurlijke]] taal geeft. Dit gebeurt in het geval van formele talen aan de hand van [[String (informatica)|strings]]. Formele grammatica's kunnen verder worden onderverdeeld in twee categorieën. [[Generatieve grammatica]]'s specificeren nader hoe strings of vergelijkbare reeksen in een formele taal kunnen worden voortgebracht (bijvoorbeeld door ze op te schrijven), terwijl [[analytische grammatica]]'s aangeven hoe een string als zodanig kan worden geanalyseerd en herkend om uit te maken of een string werkelijk tot de taal behoort.
==== Formeel bewijs ====
▲{{Hoofdartikel|Formeel bewijs}}
Met "formeel bewijs" worden aaneenschakelingen van strings e.d. bedoeld. Om als deel van een formeel bewijs te kunnen dienen moet een string een axioma of een stelling zijn (zie boven). In de [[filosofie van de wiskunde]] wordt ervan uitgegaan dat de hele wiskunde gebaseerd is op het genereren van formeel bewijs. [[David Hilbert]] bedacht in dit verband de [[metawiskunde]] om binnen de wiskunde zelf formele wiskundige systemen te beschrijven. Een taal die wordt gebruikt om een formeel systeem te beschrijven heet een [[metataal]]. Een metataal kan een gewone [[natuurlijke taal]] zijn, of een taal die zelf althans gedeeltelijk formeel is opgesteld, bijvoorbeeld computertaal. De taal die deel uitmaakt van het formele systeem dat onderzocht wordt en bijgevolg zelf het onderwerp van studie is heet in dit verband de [[objecttaal]].
Regel 38 ⟶ 34:
==== Interpretatie van formele systemen ====
▲{{Hoofdartikel| Interpretatie (logica)|Formele semantiek}}
Een ''formele interpretatie'' van een formele taal houdt het toekennen van [[betekenis]]sen aan de symbolen en [[waarheidswaarde]]n aan de zinnen van het formele systeem in. Formele semantiek (niet te verwarren met de [[semantiek]] als onderdeel van de taalkunde) behelst de studie van formele interpretatie. Het geven van een interpretatie komt ongeveer overeen met het aanbrengen van een [[wiskundige structuur|structuur]] in wiskundig-logische zin.
Een ''geïnterpreteerd formeel systeem'' is een formele taal waarvoor zowel [[deductief systeem|deductieve]] als semantische regels met betrekking tot de logische interpretatie gelden. Een dergelijk systeem kan worden geschreven als een [[quadrupel]]: <math><\alpha,\mathcal{I},\mathcal{D} d,\mathcal{D}></math>. In geval van [[extensie (predicaatlogica)|extensionele]] metataal geeft <math>\mathcal{D}</math> de [[valuatie (logica)|valuatie]] voor de zinnen van de taal weer, in het geval van [[intensie|intensionele]] metataal staat de relatie tussen uitdrukking en intensie centraal. <math>\mathcal{D} d</math> is de relatie van het rechtstreekse formele bewijs, waarbij de primitieve zinnen van het formele systeem worden beschouwd als rechtstreeks afleidbaar. Gewoonlijk wordt <math>\mathcal{D} d</math> beschouwd als [[waarheidsconservatief]], wat wil zeggen dat elke zin die rechtstreeks van een zin die waar is wordt kan worden afgeleid zelf ook waar is. In een dergelijk systeem kunnen echter ook andere [[modale logica|modaliteiten]] worden behouden.
| |||