Functionaalanalyse: verschil tussen versies

Het gebruik van het woord ''[[functionaal]]'' gaat terug op de [[variatierekening]], wat een functie impliceert, waarvan het argument ook een functie is. De oudste problemen in de functionaalanalyse zijn de extremaalproblemen binnen de [[variatierekening]]. Het gaat er daarbij om een functie uit een gegeven klasse van functies te isoleren die een extreme (minimale of maximale) waarde van een of andere eigenschap bereikt.

 

 

Vanuit het moderne gezichtspunt wordt functionaalanalyse gezien als de studie van [[vectorruimte]]n, die zijn uitgerust met een [[topologie]], in het bijzonder [[dimensie (lineaire algebra)|oneindig dimensionale ruimte]]n. In tegenstelling daartoe houdt de [[lineaire algebra]] zich voornamelijk bezig met eindig dimensionale ruimten, of maakt zij geen gebruik van een topologie. Een belangrijk deel van de functionaalanalyse beslaat de uitbreiding van de [[maattheorie]], de [[Integraalrekening|integratie]] en de [[waarschijnlijkheid]] tot oneindig dimensionale ruimten, ook wel bekend als de '''oneindig dimensionale analyse'''

 

==Genormeerde vectorruimten==

De basis- en historisch gezien eerste klasse van [[ruimte (wiskunde)|ruimte]]n, die in de functionaalanalyse worden bestudeerd, zijn [[volledig (topologie)|volledige]] [[genormeerde vectorruimte]]n over de [[reëel getal|reële-]] of [[complex getal| complexe]] getallen. Zulke ruimten worden [[Banachruimte]]n genoemd. Een belangrijk voorbeeld is een [[Hilbertruimte]], waar de [[norm (wiskunde)|norm]] voortkomt uit een [[inwendig-productruimte|inwendig product]]. Deze ruimten zijn op veel gebieden, waaronder ook de [[Wiskundige structuur van de kwantummechanica|wiskundige formulering van kwantummechanica]], van fundamenteel belang

 

 

=== Hilbertruimten ===

[[Hilbertruimte]]n kunnen volledig worden geclassificeerd: voor elke [[kardinaalgetal|kardinaliteit]] van de [[orthonormale basis]] bestaat er een unieke Hilbertruimte "up to" [[isomorfisme]]. Aangezien eindig-dimensionale Hilbertruimten binnen het kader van de [[lineaire algebra]] volledig worden begrepen en aangezien [[morfisme]]n van Hilbertruimten altijd kunnen worden opgedeeld in morfismen van ruimten met [[Alef-getal|Alef-nul]] (ℵ₀) dimensionaliteit, houdt de functionaalanalyse van Hilbertruimten zich voornamelijk bezig met de unieke Hilbertruimte van dimensionaliteit Alef-nul en haar morfismen. Een van de open problemen in de functionaalanalyse is het vinden van een bewijs dat elke [[begrensde lineaire operator]] op een Hilbertruimte een gepaste [[invariante deelruimte]] heeft. Vele bijzondere gevallen van dit [[invariante deelruimteprobleem]] zijn al wel bewezen, maar een algemeen bewijs is nog niet gevonden.

 

===Banachruimten===

Algemene [[Banachruimte]]n zijn gecompliceerder en kunnen niet op zo'n eenvoudige wijze worden geclassificeerd als [[Hilbertruimte]]n. In het bijzonder ontbreekt het Banachruimten aan een notie analoog aan een [[orthonormale basis]].

 

 

 

 

hoewel voor aftelbare <math>X</math> de ruimte meestal wordt aangeduid door <math>\ell^p(X)</math>.

 

 

De notie van een [[afgeleide]] kan dus worden uitgebreid naar functies tussen willekeurige Banachruimten. Zie bijvoorbeeld het artikel over de [[Fréchet-afgeleide]].

 

== Voorbeeld ==

 

Mathematisch beschouwen we de verzameling van alle gladde reële functies die dalen van (1000, 0) naar (0, 1000). De valtijd van het balletje, bij een gegeven hellingsfunctie, is een bepaalde [[integraal]] waarin de functie en haar eerste [[afgeleide]] optreden. Men noemt de valtijd een ''[[functionaal]]'' omdat hij een functie van een functie is.

 

== Moderne definitie ==

In de hedendaagse wiskunde betekent de term functionaalanalyse: studie van [[topologische vectorruimte]]n. Een topologische vectorruimte is een reële of complexe [[vectorruimte]], meestal oneindigdimensionaal, voorzien van een [[topologische ruimte|topologie]] die voldoet aan de [[Hausdorff-ruimte|Hausdorff]]-eigenschap (zie ook [[scheidingsaxioma]]) en die compatibel is met de gewone vectorbewerkingen; dat wil zeggen dat de optelling van vectoren en de scalaire vermenigvuldiging van een getal met een vector, continue functies zijn. De meeste "natuurlijke" functieverzamelingen kunnen worden opgevat als topologische vectorruimten. Het begrip [[distributie (wiskunde)|distributie]], uitgevonden door [[Paul Dirac]] en geformaliseerd door [[Laurent Schwartz]], geeft aanleiding tot een topologische vectorruimte die geen [[functieruimte]] is (waarvan de vectoren geen gewone functies zijn).

 

 

==Externe links==

 

{{DEFAULTSORT:Functionaalanalyse}}