Projectie (wiskunde): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Titel van Projectie (wiskunde) gewijzigd in Projectie (natuurkunde): past meer bij natuurkunde dan bij wiskunde |
nieuw artikel, onafhankelijk van natuurkunde |
||
Regel 1:
== Algemene omschrijving ==
In de [[meetkunde]] slaat de term '''projectie''' op verschillende soorten [[transformatie (wiskunde)|transformaties]] die gemeen hebben dat ze een hogerdimensionale ruimte tot een lagerdimensionale ruimte terugbrengen.
== Evenwijdige projectie ==
In de vlakke meetkunde definieert men de ''evenwijdige'' of ''parallelle projectie volgens een rechte <math>A</math> op een (niet-parallelle) rechte <math>B</math>'', genoteerd <math>\pi^A_B</math> als de [[functie (wiskunde)|afbeelding]] die met ieder punt <math>p</math> van het vlak het snijpunt <math>q</math> associeert van <math>B</math> met de unieke rechte door <math>p</math> die evenwijdig loopt met <math>A</math>.
In de ruimtemeetkunde bestaan twee verschillende veralgemeningen: evenwijdige projectie op een vlak volgens een gegeven richting; evenwijdige projectie op een rechte volgens een gegeven vlakrichting.
In het algemeen, zij <math>K</math> een [[lichaam (wiskunde)|lichaam]] en <math>0\leq k\leq n</math>, dan kan men in de <math>n</math>-dimensionale vectorruimte <math>K^n</math> een evenwijdige projectie definiëren op een <math>k</math>-dimensionale deelruimte volgens een <math>(n-k)</math>-dimensionale richting, op voorwaarde dat de gegeven deelruimte en de gegeven richting lineair onafhankelijk zijn.
== Centrale projectie ==
In de vlakke meetkunde definieert men de ''centrale projectie vanuit een punt <math>o</math> op een rechte <math>A</math> (die <math>o</math> mijdt)'', genoteerd <math>\pi^o_B</math> als de partiële functie die met ieder punt <math>p</math> van het vlak het snijpunt <math>q</math> associeert van <math>B</math> met de unieke rechte door <math>p</math> en <math>o</math>. Deze functie is partieel omdat ze niet gedefinieerd is voor <math>p=o</math>.
Ook hier bestaan eenvoudige veralgemeningen in hogere dimensies.
In de [[projectieve meetkunde]] zijn evenwijdige en centrale projecties uitingen van hetzelfde begrip, omdat richtingen geïdentificeerd worden met punten "op oneindig".
== Oneindigdimensionaal ==
De [[functionaalanalyse]] maakt gebruik van evenwijdige projecties in oneindigdimensionale reële of complexe vectorruimten, bijvoorbeeld [[Banachruimte]]n. Meestal gaat men daarbij eisen dat de deelvectorruimte waarop geprojecteerd wordt, topologisch [[gesloten verzameling|gesloten]] is.
== Verzamelingenleer ==
Met een [[productverzameling]] wordt een stel ''projectie-afbeeldingen'' geassocieerd die elk [[koppel (wiskunde)|tupel]] op een vaste component van dat tupel afbeelden. Zo heeft de productverzameling <math>A\times B=\{(a,b);a\in A,b\in B\}</math> twee projecties <math>\pi_A</math> en <math>\pi_B</math>:
*<math>\pi_A:A\times B\to A:(a,b)\mapsto a</math>
*<math>\pi_B:A\times B\to B:(a,b)\mapsto b</math>
Voor een willekeurige familie verzamelingen <math>(A_i;i\in I)</math> bestaat de productverzameling uit alle afbeeldingen <math>f</math> van <math>I</math> naar de unie van de familie <math>U_{i\in I}A_i</math>, die iedere <math>i</math> binnen <math>A_i</math> afbeelden. De <math>i</math>-''de projectie'' is
<math>\pi_i:(\prod_{j\in I}A_j)\to A_i:f\mapsto f(i)</math>
In de cartesiaanse meetkunde op <math>\mathbb{R}^2</math> komt deze verzamelingtheoretische definitie neer op evenwijdige projectie met de coördinaat-assen.
| |||