Versie van 26 feb 2011 16:46 bewerken 78.23.53.89 (overleg) uitbreiding : bij "differentiaalvergelijkingen" : kan ook gebruikt worden indien beginvoorwaarden niet nul zijn, klein voorbeeld (1ste orde) ← Oudere bewerking		Versie van 26 feb 2011 18:13 bewerken ongedaan maken Bdijkstra (overleg \| bijdragen) interfacemoderatoren, moderatoren 130.476 bewerkingen k →‎Verband met differentiaalvergelijkingen: <math> spatiëring Nieuwere bewerking →
Regel 182: ==Verband met differentiaalvergelijkingen== Nemen we de volgende [[differentiaalvergelijking]] als voorbeeld (''x'' is een bekende functie): :<math>\!a \,y''+ byb\,y'+c \,y =A A\,x'+BxB\,x</math>, we transformeren de beide leden, waarbij alle beginvoorwaarden nul worden gekozen (de zogenaamde ''nultoestand'', of ''zero state'') : :<math>\!a \,s^2 \,Y(s)+~~bsY~~b\,s\,Y(s)+cYc\,Y(s)=~~AsX~~A\,s\,X(s)+B \,X(s)</math>, waar uit volgt: :<math>\!Y(s)=H(s) X(s)=\frac{AsA\,s+B}{a \,s^2+bsb\,s+c} X(s)</math> hierbij is ''H''(''s'') de ''overdrachtsfunctie''. Aangezien ''x'' een bekende functie is, is ook zijn Laplacegetransformeerde bekend, en daarmee ook de getransformeerde van ''y'', ''Y''(''s''). We berekenen de inverse van ''Y''(''s''), en vinden de gezochte oplossing ''y''(''t''). Maar ook indien de beginvoorwaarden niet nul zijn kan een lineaire differentiaalvergelijking met constante coefficienten via de Laplacetransformatie worden opgelost. Voorbeeld : :<math>y'(t) \, + 4\, ~~4y \,~~y = \, 8 \! </math> met als beginvoorwaarde : <math>y(0) \, = \, 1 \!</math>. De Laplacetransformatie levert : :<math>s.\,Y(s) \, - \, 1 \, + 4 \, Y(s) \, = \frac{8/}{s \!}</math> Door hieruit Y(s) af te zonderen, en vervolgens de inverse Laplacetransformatie te nemen vindt men de oplossing y(t) :▼ :<math>y(t) \, = \, 2 \, - \, 4 \, e^{-4t} \! </math>▼ ▲Door hieruit ''Y''(''s'') af te zonderen, en vervolgens de inverse Laplacetransformatie te nemen vindt men de oplossing ''y''(''t'') : ▲:<math>y(t) \, = \, 2 \, - \, 4 \, e^{-4t} \! </math> ==Zie ook==

Laplacetransformatie: verschil tussen versies