Laplacetransformatie: verschil tussen versies

5 bytes verwijderd ,  10 jaar geleden
k
(uitbreiding : bij "differentiaalvergelijkingen" : kan ook gebruikt worden indien beginvoorwaarden niet nul zijn, klein voorbeeld (1ste orde))
==Verband met differentiaalvergelijkingen==
Nemen we de volgende [[differentiaalvergelijking]] als voorbeeld (''x'' is een bekende functie):
:<math>\!a \,y''+ byb\,y'+c \,y =A A\,x'+BxB\,x</math>,
we transformeren de beide leden, waarbij alle beginvoorwaarden nul worden gekozen (de zogenaamde ''nultoestand'', of ''zero state'') :
:<math>\!a \,s^2 \,Y(s)+bsYb\,s\,Y(s)+cYc\,Y(s)=AsXA\,s\,X(s)+B \,X(s)</math>,
 
waar uit volgt:
:<math>\!Y(s)=H(s) X(s)=\frac{AsA\,s+B}{a \,s^2+bsb\,s+c} X(s)</math>
 
hierbij is ''H''(''s'') de ''overdrachtsfunctie''. Aangezien ''x'' een bekende functie is, is ook zijn Laplacegetransformeerde bekend, en daarmee ook de getransformeerde van ''y'', ''Y''(''s''). We berekenen de inverse van ''Y''(''s''), en vinden de gezochte oplossing ''y''(''t'').
 
Maar ook indien de beginvoorwaarden niet nul zijn kan een lineaire differentiaalvergelijking met constante coefficienten via de Laplacetransformatie worden opgelost. Voorbeeld :
 
:<math>y'(t) \, + 4\, 4y \,y = \, 8 \! </math>
met als beginvoorwaarde : <math>y(0) \, = \, 1 \!</math>.
 
De Laplacetransformatie levert :
 
:<math>s.\,Y(s) \, - \, 1 \, + 4 \, Y(s) \, = \frac{8/}{s \!}</math>
 
Door hieruit Y(s) af te zonderen, en vervolgens de inverse Laplacetransformatie te nemen vindt men de oplossing y(t) :
:<math>y(t) \, = \, 2 \, - \, 4 \, e^{-4t} \! </math>
 
Door hieruit ''Y''(''s'') af te zonderen, en vervolgens de inverse Laplacetransformatie te nemen vindt men de oplossing ''y''(''t'') :
:<math>y(t) \, = \, 2 \, - \, 4 \, e^{-4t} \! </math>
 
==Zie ook==