Stelling van Gauss-Bonnet: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 17:
kan worden weggelaten. De [[stelling (wiskunde)|stelling]] zegt dat de totale [[Gaussiaanse kromming]] van een dergelijke gesloten oppervlak gelijk is aan 2π maal de [[Euler-karakteristiek]] van het oppervlak. Merk op dat voor [[Oriënteerbaarheid|oriënteerbare]] compacte [[oppervlak (topologie)|oppervlak]]ken zonder begrenzing de Euler-karakteristiek gelijk is aan <math>2-2g</math>, waar <math>g</math> de [[genus (wiskunde)|genus ]] van dit oppervlak is: Elke oriënteerbaar compacte oppervlak zonder begrenzing topologisch gelijkwaardig is aan een [[sfeer (wiskunde)|sfeer]], waaraan enige [[handvat (topologie)|handvat]]ten zijn bevestigd, en dat <math>g</math> het aantal van deze handvatten telt.
Als men het oppervlak <math>M</math> buigt en vervormt, zal de Euler-karakteristiek van dit oppervlak, een [[topologische invariant]], niet veranderen, dit hoewel de [[kromming (meetkunde)|kromming]] op sommige [[punt (meetkunde)|punt]]en wel zal veranderen. De stelling beweert, ietwat verrassend, dat de totale integraal van alle krommingen hetzelfde blijft, dit ongeacht de manier hoe de vervorming wordt uitgevoerd. Als een sfeer bijvoorbeeld een "deuk" heeft, dan is de totale kromming van deze sfeer 4π (de Euler-karakteristiek van een sfeer is 2), ongeacht hoe groot of hoe diep deze deuk ook mag zijn.
Compactheid van het oppervlak is van cruciaal belang. Beschouw bijvoorbeeld de [[eenheidsschijf|open eenheidsschijf]], een niet-compact [[Riemann-oppervlak]] zonder begrenzing, met kromming 0 en met een Euler-karakteristiek gelijk aan 1: de stelling van Gauss-Bonnet werkt hier niet. De stelling is echter wel van toepassing voor de compacte gesloten eenheidsschijf, die ook een Euler-karakteristiek 1 heeft, dit vanweg de toegevoegde grensintegraal met waarde 2π.
== Externe links ==
| |||