Pi (wiskunde): verschil tussen versies

25 bytes toegevoegd ,  10 jaar geleden
k
Bot: verwijzing naar etalage-artikel voor ca:Nombre π; cosmetische veranderingen
(Versie 20009579 van 213.93.103.34 (overleg) ongedaan gemaakt. rv)
k (Bot: verwijzing naar etalage-artikel voor ca:Nombre π; cosmetische veranderingen)
 
==Eigenschappen==
* De wiskundige constante π is een [[irrationaal getal]]. Dit houdt in dat π niet als een verhouding van twee hele getallen, niet als een eindige breuk te schrijven is. Dat betekent dat in de decimale voorstelling van π geen zich herhalende periode voorkomt, zoals bij een rationaal getal als de breuk 1/7 wel het geval is: 0.142857142857... etcetera. De waarde van π kan in [[decimaal|decimale]] notatie wel benaderd worden, maar de reeks cijfers achter de komma bevat geen patroon, is telkens anders.
 
* Een deel van de irrationale getallen is [[transcendent getal|transcendent]] en ook π blijkt dat te zijn. Dit betekent dat dit getal niet is te schrijven als oplossing van een algebraïsche vergelijking met een eindig aantal termen. Het betekent ook dat er geen constructie met passer en liniaal bestaat om een rechte lijn te construeren die lengte π heeft. Heel anders dan een getal als √2, dat wel irrationaal maar niet transcendent is, en daarom wel geconstrueerd kan worden: teken een lijnstuk, ken dat lengte 1 toe, construeer een rechthoekige driehoek met rechte zijden 1, de schuine zijde heeft dan de lengte √2. Met π is iets dergelijks onmogelijk.
 
* Een deel van de transcendentale getallen is bovendien een [[normaal getal]]. Dat betekent dat in de decimale ontwikkeling van het getal de cijfers van 0 tot en met 9 even vaak voorkomen, maar ook elke willekeurige cijfercombinatie even vaak voorkomt als elke andere willekeurige cijfercombinatie van gelijke lengte. Er is een ontzaglijk aantal decimalen van π berekend en iedere daarop losgelaten statistische toets geeft als resultaat dat dit inderdaad het geval lijkt te zijn, maar het is niet streng bewezen dat π inderdaad een normaal getal is.
 
===Bewijzen===
===Veelhoeken===
[[Bestand:Archimedes pi.svg|thumb|250px| cirkel met in- en omgeschreven veelhoeken]]
* Iets heel anders dan een schatting is een rekenmethode die π als uitkomst geeft. De Griekse wiskundige [[Archimedes]] (Άρχιμήδης, [[287 v.Chr.|287]] – [[212 v.Chr.]]) was de eerste die het probleem wiskundig aanpakte, daarom werd pi soms constante van Archimedes genoemd. Hij redeneerde aldus: de omtrek van een ingeschreven [[regelmatige veelhoek|regelmatige n-hoek]] is altijd kleiner dan de omtrek van de cirkel, terwijl de omtrek van een omgeschreven n-hoek altijd groter is. Hoe groter n genomen wordt, des te nauwkeuriger zijn zowel een onder- als een bovengrens voor de omtrek van de cirkel, π dus, bekend. Archimedes begon met 6-hoeken, maar berekende uiteindelijk de omtrek van in- en omgeschreven 96-hoeken. Zo vond Archimedes dat π moest zitten tussen 223/71 en 22/7. Met het voor berekeningen zeer onhandige Griekse getalsysteem is dat een heel nauwkeurig resultaat. Het gemiddelde van die twee kon als redelijke schatting genomen, decimaal geschreven is dat 3,141851...
 
* In de eeuwen daarna werd π ook berekend in India en China. Rond [[265]] gebruikte ook de Chinese wiskundige [[Liu Hui]] veelhoeken om π te berekenen. Hij nam een 3072-veelhoek en kwam, in decimale notatie, tot 3,1415894...
 
De berekening van Liu Hui komt neer op
</math>
 
* [[Ludolph van Ceulen]] berekende met veelhoeken rond [[1600]] de eerste 35 decimalen, al publiceerde hij er maar 32 (''Van den Cirkel'', Delft, 1596). Zijn vrouw heeft ze op zijn grafsteen laten beitelen <ref>[http://www.math.rug.nl/~top/pi-dag/graf.pdf Grafsteen van Ludolph van Ceulen met 35 decimalen van π.]</ref>. Pi werd daarom soms getal van Ludolph genoemd.
 
===Formules===
| [[Jamshid Masud Al-Kashi]] || ca. [[1424]] || 16 || Vond pi in een zestigtallig [[talstelsel]]
|-
| [[Ludolph van Ceulen]] || [[1610]] || 35 || Zijn prestatie werd op zijn [[Pi_Pi (wiskunde)#Monument_voor_Monument voor .CF.80| grafsteen]] in de [[Pieterskerk (Leiden)| Pieterskerk]] in Leiden gebeiteld.
|-
| [[Jurij Vega]] || [[1789]] || 126 || Berekende 140 decimalen waarvan 126 correct (wereldrecord tot 1841)
 
== Trivia ==
Een [[limerick (dichtvorm)|limerick]] van Harvey L. Carter<ref>L.Berggren, J.M.Borwein, P.B.Borwein, ''Pi, a source book'', Springer, 2004, ISBN 9780387205717978-0-387-20571-7, p.656 ([http://books.google.nl/books?id=QlbzjN_5pDoC&pg=PA656&dq=%22A+new+value+for+pi+to+assign%22&lr=#v=onepage&q=&f=false Google preview])</ref> (echter geen ezelsbruggetje voor de cijfers van pi):
 
:''Tis a favourite project of mine''
=== Monument voor π ===
[[Bestand:Monument voor PI .jpg|thumb|Monument voor π (pi) in de Pieterskerk in Leiden, van de hand van [[Cornelia Bakkum]]<br />(foto: Ton Boon)]]
In de [[Pieterskerk (Leiden)|π-terskerk]] in [[Leiden]] is een [[Ludolph_van_CeulenLudolph van Ceulen#Monument_voor_Pi|Monument voor Pi|monument]] opgericht voor pi (zie afbeelding). De steen bevat de tekst die op de grafsteen van [[Ludolf van Ceulen]] stond. De grafsteen zelf is in de negentiende eeuw uit de kerk verwijderd, maar de tekst was afgebeeld in een in druk verschenen reisverslag van de Engelsman Philip Skippon (1641-1691). De ring is uitgevoerd in twee kleuren koper, waarbij het kleine stuk precies zo lang is als de diameter van de koperen ring.
 
=== Pi-manie ===
 
{{Link FA|af}}
{{Link FA|ca}}
{{Link FA|de}}
{{Link FA|eo}}
46.162

bewerkingen