Intuïtionisme: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
Het '''intuïtionisme''' is een grondslagenstroming in de [[wiskunde]] die rond 1900 opkwam en waarvan de Nederlandse wiskundige [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|L.E.J. Brouwer]] een belangrijke vertegenwoordiger was.
==Intuïtionistische uitgangspunten==
In het intuïtionisme stelt men onder andere dat wiskundige objecten gedachtenconstructies zijn; een dergelijk object bestaat dan ook alleen als het geconstrueerd kan worden, en het enige geldige bewijs van zijn bestaan is een recept voor een dergelijke constructie. Dat wil zeggen, het intuïtionisme verwerpt de bewijsmethode van het [[Reductio ad absurdum|bewijs uit het ongerijmde]]: Indien men aanneemt dat iets niet bestaat, en daaruit een tegenspraak afleidt, geldt dat niet als een bewijs dat het bestaat.▼
Grondvestend principe in het intuïtionisme is de menselijke ervaring van tijd. Hieruit volgt onder andere dat wiskundige objecten in de loop van de tijd worden geconstrueerd (in de menselijke geest). De tijd wordt hierbij gezien als een stap-voor-stap proces: 0, 1, 2, ...enzovoorts. De zogeheten 'natuurlijke getallen' (0, 1, 2, ...) kunnen we op deze manier in gedachten construeren. Ook de [[verzameling]] van de natuurlijke getallen ''N'' kunnen we construeren, alleen is de constructie nooit klaar. Deze visie van [[potentiëel oneindig]] contrasteert met het klassieke oneindigheidsbegrip. In de klassieke wiskunde gaat men ervan uit dat men ook oneindige verzamelingen zoals ''N'' in één keer kan overzien.
▲In het intuïtionisme
Een mooi voorbeeld hiervan is Brouwer's beroemde [[vastepuntstelling van Brouwer|vastepuntstelling]] uit de klassieke [[topologie]]. Men kan bewijzen dat het onmogelijk is om (onder de voorwaarden van de stelling) altijd een constructie van een vast punt te leveren. Hiermee is Brouwer's vastepuntstelling intuïtionistisch onwaar. Brouwer gaf wel intuïtionistische alternatieven voor zijn klassieke stelling.
==Intuïtionistische formele logica==
In de intuïtionistische formele logica, die contrasteert met de klassieke [[logica]], is derhalve de regel van de [[uitgesloten derde]] (voor elke uitspraak ''P'' geldt: ''P'' is waar OF 'niet ''P'' ' is waar) niet geldig. Deze regel, die sinds de klassieke oudheid in de wiskunde is toegepast, werd door Brouwer met overtuigende voorbeelden ontkracht.
Intuïtionistische formele logica wordt veel gebruikt in de [[informatica]]. Een van de redenen hiervoor is dat algorithmische [[berekenbaarheid]] van wiskundige entiteiten samenhangt met een bewijs van bestaan in de intuïtionistische logica. Een andere reden is dat correctheidsbewijzen van algorithmen makkelijker verlopen via intuïtionistische logica.
==Constructieve wiskunde==
Het blijkt mogelijk te zijn om een volwaardige wiskunde op te bouwen uitgaande van de intuïtionistische [[axioma|axioma's]]. Het enige intuïtionistische [[axioma]] dat niet in overeenstemming is met de klassieke wiskunde is het zogenaamde [[ContinuïteitsPrincipe]] (CP).
Vanwege de opmars van de computer, is de interesse in [[constructieve wiskunde]] (waar intuïtionisme grotendeels toe gerekend wordt) de laatste decennia sterk toegenomen. Men is meer geïnteresseerd geraakt in de principiële berekenbaarheid van wiskundige entiteiten, en de constructieve wiskunde biedt hiervoor een passend kader.
| |||