15- en 290-stelling: verschil tussen versies

57 bytes toegevoegd ,  12 jaar geleden
lf stelling (wiskunde) en tussenkopjes voor 15-stelling en 290-stelling geïntroduceerd
(dode link weg)
(lf stelling (wiskunde) en tussenkopjes voor 15-stelling en 290-stelling geïntroduceerd)
==15-stelling==
De '''15-stelling''' van [[John Conway|John H. Conway]] en [[William A. Schneeberger]], bewezen in [[1993]], stelt dat als een geheeltallige [[kwadratische vorm|positief definiete kwadratische vorm]] (we nemen vanaf hier impliciet op deze pagina aan dat de kwadratische vormen positief definiet zijn) met geheeltallige matrix alle positieve gehele getallen tot en met [[15 (getal)|15]] representeert, dat het dan alle positieve gehele getallen representeert. Het bewijs was gecompliceerd en werd nooit gepubliceerd. [[Manjul Bhargava]] vond een veel eenvoudiger bewijs dat werd gepubliceerd in [[2000]].
 
:''w''<sup>2</sup>+''x''<sup>2</sup>+ ''y''<sup>2</sup>+''z''<sup>2</sup>
 
is universeel, omdat ieder positief geheel getal als som van vier kwadraten kan worden geschreven volgens de [[vier-kwadratenstelling van Lagrange]]. Deze [[stelling (wiskunde)|stelling]] wordt in het bewijs voor de 15-stelling gebruikt als hulpstelling.
 
De 15-stelling kan worden gepreciseerd door niet te eisen dat alle positieve gehele getallen tot en met 15 worden gerepresenteerd, maar alleen de getallen 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14 en 15. Voor elk van deze getallen bestaan er kwadratische formen die alle positieve gehele getallen representeren met uitzondering van dat getal.
De eis van een geheeltallige matrix kan afgezwakt worden tot de eis dat alle coëfficiënten geheeltallig zijn. Bijvoorbeeld ''x''<sup>2</sup> +''xy'' +''y''<sup>2</sup> heeft geheeltallige coëfficiënten, maar geen geheeltallige matrix.
 
==290-stelling==
In [[2005]] hebben Manjul Bhargava en [[Jonathan P. Hanke]] een bewijs aangekondigd dat een [[stelling (wiksundewiskunde)|stelling]] als de 15-stelling ook geldt voor kwadratische coëfficiënten, hetgeen al als vermoeden door Conway en Schneeberger was geuit. Het getal 15 moet nu worden vervangen door [[290 (getal)|290]], de zo verkregen stelling wordt de '''290-stelling''' genoemd.
 
Ook hier kan de stelling worden gepreciseerd door te stellen dat als door een kwadratische vorm met geheeltallige coëfficiënten alleen de getallen
21.573

bewerkingen