Continuümhypothese: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
kGeen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 2:
:''Er bestaat geen verzameling, waarvan de kardinaliteit tussen de kardinaliteit van de gehele getallen en de kardinaliteit van de reële getallen ligt.''
De ''continuümhypothese'' stelt dat de [[kardinaliteit]] van de verzameling [[reëel getal|reële getallen]] (het [[continuüm (wiskunde)|continuüm]]) het eerste [[overaftelbaarheid|overaftelbare]] kardinaalgetal is, oftewel het eerste kardinaalgetal groter dan de kardinaliteit van de [[natuurlijk getal|natuurlijke getallen]].
== Kardinaliteit van oneindige verzamelingen ==
Van twee verzamelingen wordt gezegd dat zij dezelfde ''[[kardinaliteit]]'' of hetzelfde ''[[kardinaalgetal]]'' hebben als er een [[bijectie]] (een een-op-een-correspondentie) tussen deze twee [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en bestaat. Intuïtief gesproken hebben twee verzamelingen ''S'' en ''T'' dezelfde kardinaliteit als het mogelijk is om [[element (wiskunde)|element]]en van ''S'' op zodanige wijze tegen elementen van ''T'' weg te strepen dat elk element van ''S'' gekoppeld is aan precies een element van ''T'' en dat andersom elk element van ''T'' gekoppeld is aan precies een element van ''S''. Vandaar dat bijvoorbeeld de verzameling {banaan, appel, peer} dezelfde kardinaliteit, drie, heeft als de verzameling {geel, rood, groen}.
Met [[oneindige verzameling]]en, zoals de verzameling van [[geheel getal|gehele getal]]len of de [[rationaal getal|rationale getal]]len, wordt een stuk ingewikkelder om aan te tonen dat elementen tegen elkaar weg kunnen worden
Cantor gaf twee [[bewijs (wiskunde)|bewijzen]] dat de kardinaliteit van de verzameling ven [[geheel getal|gehele getal]]len strikt genomen kleiner is dan de verzameling van [[reëel getal|reële getal]]len; Zijn tweede bewijs is het [[diagonaalbewijs van Cantor]]. Zijn bewijzen geven echter geen indicatie van de mate, waarin de kardinaliteit van de natuurlijke getallen kleiner is dan de kardinaliteit van de reële getallen. Cantor stelde de continuümhypothese als een mogelijk antwoord op deze vraag voor.
|