Continuümhypothese: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 5:
== Kardinaliteit van oneindige verzamelingen ==
Van twee verzamelingen wordt gezegd dat zij dezelfde ''[[kardinaliteit]]'' of hetzelfde ''[[kardinaalgetal]]'' hebben als er een [[bijectie]] (een een-op-een-correspondentie) tussen deze twee [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en bestaat. Intuïtief gesproken hebben twee verzamelingen ''S'' en ''T'' dezelfde kardinaliteit als het mogelijk is om [[element (wiskunde)|element]]en van ''S'' op zodanige wijze tegen elementen van ''T'' weg te strepen dat elk element van ''S'' gekoppeld is aan precies een element van ''T'' en dat andersom elk element van ''T'' gekoppeld is aan precies een element van ''S''. Vandaar dat bijvoorbeeld de verzameling {banaan, appel, peer} dezelfde kardinaliteit, drie, heeft als de verzameling {geel, rood, groen}.
Met [[oneindige verzameling]]en, zoals de verzameling van [[geheel getal|gehele getal]]len of de [[rationaal getal|rationale getal]]len, wordt een stuk ingewikkelder om aan te tonen dat elementen tegen elkaar weg kunnen worden gestreept. De [[rationaal getal|rationale getal]]len vormen schijnbaar een tegenvoorbeeld van de continuümhypothese: de rationale getallen vormen aan de ene kant een [[superset]] van de [[geheel getal|gehele getal]]len en aan de andere kant een [[deelverzameling]] van de rationale getallen. Intuïtief zou men dus mogen verwachten dat er meer rationale getallen dan gehele getallen en minder rationale getallen dan reële getallen bestaan. Het blijkt echter dat de rationale getallen in [[bijectie|een-op-een correspondentie]] met de gehele getallen kunnen worden geplaatst, en dat dus de verzameling van rationale getallen dezelfde grootte heeft als de verzameling van de gehele getallen; het zijn beide [[aftelbare verzameling]]en.
Cantor gaf twee [[bewijs (wiskunde)|bewijzen]] dat de kardinaliteit van de verzameling ven [[geheel getal|gehele getal]]len strikt genomen kleiner is dan de verzameling van [[reëel getal|reële getal]]len; Zijn tweede bewijs is het [[diagonaalbewijs van Cantor]]. Zijn bewijzen geven echter geen indicatie van de mate, waarin de kardinaliteit van de natuurlijke getallen kleiner is dan de kardinaliteit van de reële getallen. Cantor stelde de continuümhypothese als een mogelijk antwoord op deze vraag voor.
Het aantal natuurlijke getallen is per definitie [[oneindigheid|aftelbaar oneindig]], en wordt aangeduid met <math>{}_{}^{\aleph_0}</math> (uitspraak: [[alef-getal|alef nul]]"; [[alef]] is de eerste letter van het Hebreeuwse alfabet). Met zijn [[Diagonaalbewijs van Cantor|diagonaalbewijs]] toonde Cantor aan dat het aantal [[reëel getal|reële getal]]len aangeduid als ''C'' groter is dan <math>{}_{}^{\aleph_0}</math>. Uit het diagonaalbewijs volgt echter niet dat C gelijk is aan <math>{}_{}^{\aleph_1}</math> = 2<sup><math>{}_{}^{\aleph_0}</math></sup>, het eerste [[kardinaalgetal]] groter dan <math>{}_{}^{\aleph_0}</math>. Er kunnen willekeurig veel kardinaalgetallen tussen <math>{}_{}^{\aleph_0}</math> en ''C'' liggen.
| |||