Klasse (verzamelingenleer): verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
kGeen bewerkingssamenvatting |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 4:
Verschillende belangrijke concepten in de wiskunde worden beschreven in termen van klassen. Voorbeelden zijn grote [[Categorietheorie (wiskunde)|categorieën]] en de klasse van de [[surreëel getal|surreële getal]]len.
In de [[Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer]] (ZF) bestaan klassen alleen in de [[metataal]], als equivalentieklassen van logische formules. De axioma's van ZF zijn niet van toepassing op klassen. Als wij echter een [[ontoegankelijke kardinaal]] κ aannemen, vormen de verzamelingen van kleinere rang een model van ZF (een [[Grothendieck-universum]]). Haar deelverzamelingen kunnen worden gezien als "klassen".
De [[Von Neumann–Bernays–Gödel-verzamelingenleer|Von Neumann-Bernays-Gödel axioma]]'s staan een andere benadering voor; in deze theorie zijn de basisobjecten de klassen en wordt een verzameling gedefinieerd als een klasse, die een [[element (wiskunde)|element]] is van een andere klasse. In andere, minder gangbare verzamelingentheorieën, zoals de [[New Foundations]] of de theorie van de [[halfverzameling]]en, is het concept van een "echte klasse" nog steeds zinvol (niet alle klassen zijn verzamelingen), maar is het criterium van "verzamelingheid" niet gesloten onder deelverzamelingen. Enige verzamelingenleer met een [[universele verzameling]] heeft bijvoorbeeld "echte klassen", die deelklassen van verzamelingen zijn.
De noodzaak om het begrip klasse in te voeren komt voor uit de wens om [[paradox (logica)|logische tegenspraak]] te vermijden (zie [[Russellparadox|paradox van Russsel]]). Zoals hierboven gesteld is een klasse een collectie - een ander woord voor verzameling - van verzamelingen. Als het begrip verzameling toegepast zou worden in plaats van het nieuwe begrip klasse, zou bijvoorbeeld de verzameling van alle verzamelingen zichzelf kunnen bevatten, wat tot logische tegenspraken kan leiden. Om deze te vermijden is het begrip 'klasse' in de verzamelingenleer ingevoerd.
| |||