Axiomatische verzamelingenleer: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Geen bewerkingssamenvatting |
kGeen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 8:
In de wiskundige praktijk van de twintigste eeuw trok de door [[Ernst Zermelo]] geïnitieerde vorm van de axiomatische verzamelingenleer uiteindelijk aan het langste eind. De [[Zermelo-verzamelingenleer]] van 1907 is zowel het fundament voor de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer (ZFC) als ook voor alternatieve axiomasystemen. ZFC ontstond door het "vervangingsaxioma" van [[Adolf Abraham Halevi Fraenkel|Abraham Fraenkel]] uit 1921 en Zermelos "grondvestigingsaxioma" van 1930 te combineren. De oorspronkelijke, in verbale vorm gegoten, verzamelingsaxioma van Zermelo-Fraenkel werden onder invloed van het [[programma van Hilbert]], dat een fundamentele, tegenspraakvrij axiomasysteem voor de wiskunde voorstond, later strikt geformaliseerd. De eerste formalisering (ZFC zonder het "grondvestigingsaxioma") door [[Thoralf Skolem]] stamt uit het jaar 1929<ref> Thoralf Skolem, Über einige Grundlagenfragen der Mathematik (1929) (Over enkele fundamentele vragen in de wiskunde (1929), Selected works in logic (geselecteerde werken in de logica), Oslo, 1970, pagina's 227-273</ref> en gaf de impuls voor de moderne [[Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer|predikatenlogische ZFC-axiomasystemen]]. In ZFC konden tot nu toe geen tegenspraken meer worden afgeleid. Aantoonbaar tegenspraakvrij is echter slechts de algemene verzamelingenleer, dat wil zeggen naar Fraenkel de ZFC-verzamelingenleer met uitsluiting van het [[oneindigheidsaxioma]], <ref>Abraham Fraenkel, Axiomatische Theorie der geordneten Mengen (Axiomatische theorie van geordende verzamelingen), [[Journal of Pure and Applied Mathematics]], band 155, 1926, pag 129-158, met name blz. 132f</ref> dus de verzamelingenleer met [[eindige verzameling]]en, in 1930 een voorbeeld voor Zermelo<ref>Ernst Zermelo, Grenzzahlen und Mengenbereiche (Grensgetallen en verzamelingbereiken), [[Fundamenta Mathematicae]], Band 16, 1930, pagina's 29-47, met name blz. 44</ref>. Het programma van Hilbert leende zich echter niet om uit te voeren voor de volledige Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer, aangezien de onvolledigheidsstellingen van Gödel ook op Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer van toepassing zijn, zodat tegenspraakvrijheid binnen het kader van de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer onbewijsbaar blijft.
De tegenspraakvrijheid relatief ten opzichte van de Zermelo-Fraenkel verzamelingenleer is ook voor vele uitbreidingen, veralgemeningen en aanpassingen daarvan veilig gesteld. Daar hoort ook de verzamelingenleer van [[John von Neumann]] uit 1925 bij. Deze is op het [[functie (wiskunde)|functie]]begrip in plaats van het verzamelingenbegrip gebaseerd en werkt niet alleen met verzamelingen, maar ook met [[klasse (verzamelingenleer)|echte klassen]]<ref>John von Neumann, Eine Axiomatisierung der Mengenlehre (Een axiomatisering van de verzamelingenleer), [[Journal für die reine und angewandte Mathematik]], band 154, 1925, pagina's 219-240</ref>. Deze verzamelingenleer was het uitgangspunt voor de [[Von Neumann-Bernays-Gödel-verzamelingenleer]], een ZFC veralgemeent voor klassen en die met een eindig aantal axioma's uitkomt, dit terwijl ZFC axiomaschemata benodigd. Nog algemener is de [[Ackermann-verzamelingenleer]] uit 1955, waarin [[Wilhelm Ackermann]] probeert om de verzamelingdefinities van [[Georg Cantor]] in een axiomatische vorm te gieten. In 1974 bedde [[Arnold Oberschelp]] ZFC in een algemene axiomatische [[klasselogica]] in met als resultaat een verzamelingenleer die een comfortabele, syntactisch correcte weergave van om het even welke klassenterminologie toestaat.
Tot de bekendere axiomatiseringen, die zich niet op [[Georg Cantor|Cantor]] of Zermelo-Fraenkel oriënteren, maar op de typentheorie, hoort de verzamelingenleer van [[Willard Van Orman Quine]], met name diens ''New Foundations'' (NF) (Nieuwe grondslagen) uit het jaar 1937.
| |||