Continuïteitsvergelijking: verschil tussen versies

Een continuïteitsvergelijking is een welkbepaald soort vergelijking in de [[natuurkunde]], welke het behoud van een bepaalde grootheid uitdrukt. (Het is dus een speciaal soort van een behoudsvergelijking.) Typische behouden grootheden die voldoen aan een continuïteitsvergelijking, zijn [[massa]] en [[lading]].

:<math> \partial_t \rho = \sum_{i=1}^{3}nabla partial_i\cdot \vec{j^i} </math>

* ZoalsDe de naam sugereert,continuïteitsvergelijking drukt een continuïteitsvergelijking het behoud aanuit van een grootheid welke op een continue wijze verdeeld is doorheen de ruimte. De grootheid <math> \rho </math>, welkehangt dus afhangtaf van de ruimtelijke coördinaten <math>x^i </math> en de tijd <math> t </math> (, dus: <math> \rho = \rho(\vec{x}, t) </math>). Deze grootheid heeft typisch de betekenis van een dichtheid.

*Verder is er ook een vector-grootheid <math> \vec{j^i} = \vec{j^i}(x^i, t) </math>, met de betekenis van een ''stroom''.

* Verder is <math> \partial_t = \frac{\partial}{\partial t} </math> de afgeleide naar de tijd en <math> \partial_i =nabla \frac{\partial}{\partial x^i}cdot </math> de afgeleide naaris de i-de[[divergentie ruimtecoordinaat(vectorveld)|divergentie]].

:<math> Q(t)=\int_{\mathbb{R}^3} \rho(\vec{x},t) d^3 x </math>

:<math> { \partial\mathbf{\rho} \over \partial t } + \nabla \cdot (\mathbf{\rho \vec{v}) = 0</math>

:<math> { \partial\mathbf{\rho} \over \partial t } + \nabla \cdot (\mathbf{\rho \vec{v}) = 0</math>

:<math> Q = \int \, \rho d^3 x </math>

In [[relativiteitstheorie]] vormen de objecten <math>\rho</math> en <math>\vec{j} </math> typisch één enkel object, een [[viervector]]. Deze wordt typisch genoteerd als <math> j^\mu</math>, waarbij de index <math> \mu </math> loopt van 0 tot 3 . (De nulde component is <math>\rho</math>.) Ook de afgeleiden <math> \partial_t </math> en <math> \partial_i </math> vormen in relativiteitstheorie één object, <math> \partial_mupartial_\mu </math>. De continuïteitsvergelijking neemt dan de volgende bijzonder eenvoudige en elegante vorm aan:

:<math> \partial_mupartial_\mu j^\mu=0 </math>.

(In deze vergelijking is de [[Einstein-sommatieconventie]] verondersteld]]).