Homomorfisme: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
k robot Erbij: ta:காப்பமைவியம் (கணிதம்) |
kGeen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
In het algemeen verstaat men onder een '''homomorfisme''' een [[afbeelding (wiskunde)|afbeelding]] van een [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] met [[Algebraïsche structuur|structuur]] in een andere [[verzameling (wiskunde)|verzameling]] met [[wiskundige structuur|structuur]] die [[compatibel]] is met de structuren, dus de structuur van het [[domein (wiskunde)|domein]] overvoert in de
:voor alle <math>\, x,y \in V: f(S(x,y))=T(f(x),f(y))</math>.
Regel 5:
==Voorbeelden==
De [[logaritme]] is een homomorfisme van de [[positief getal|positieve]] [[reële getallen]] met als structuur de [[vermenigvuldigen|vermenigvuldiging]] in de reële getallen met als structuur de [[optelling]]. Er geldt immers:
:<math>\, log(x \cdot y) = \log x + \log y</math>.
Dit is de basis voor de [[decibel (eenheid)|decibel]]schalen en het [[rekenen]] met [[rekenliniaal]] of [[logaritmetafel]]: [[vermenigvuldigen]] kan omgezet worden in [[optellen]].
Een afbeelding tussen twee [[groep (wiskunde)|groepen]] <math>f:G\rightarrow G'</math> is een homomorfisme als voor ieder tweetal
:<math>\, f(ab)=f(a)f(b)</math>
==Informele discussie==
Omdat de [[abstracte algebra]] [[verzameling (wiskunde)|verzameling]]en met [[operatie (wiskunde)|operatie]]s bestudeert, die interessante structuren of eigenschappen op deze verzameling genereren, zijn de meest interessante [[functie (wiskunde)|functie]]s deze die deze
Beschouw bijvoorbeeld de [[natuurlijke getal]]len met [[optellen]] als de operatie. Een functie die een optelling bewaard moet de eigenschap hebben dat: ''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') + ''f''(''b'').
''f''(''x'') = 3''x'' is bijvoorbeeld zo'n homomorfsme, aangezien ''f''(''a'' + ''b'') = 3(''a'' + ''b'') = 3''a'' + 3''b'' = ''f''(''a'') + ''f''(''b''). Merk op dat dit homomorfisme de [[natuurlijk getal|natuurlijke
Homomorfismen hoeven niet te mappen tussen verzamelingen die dezelfde operaties hebben. Er bestaan bijvoorbeeld operatie-bewarende functies tussen de verzameling van de [[reëel getal|reële getallen]] met de operatie optelling en de de verzameling van de positieve reële getallen met operatie vermenigvuldiging. Een functie die een operatie bewaart, vereist de eigenschap dat:''f''(''a'' + ''b'') = ''f''(''a'') * ''f''(''b''), dit aangezien optelling de operatie in de eerste verzameling en vermenigvuldiging de operatie in de tweede verzameling is. Gegeven de wetten van het [[machtsverheffen]], voldoet ''f''(''x'') = e<sup>''x''</sup> aan deze voorwaarde : 2 + 3 = 5 vertaalt zich in e<sup>''2''</sup> * e<sup>''3''</sup> = e<sup>''5''</sup>.
| |||