Equivalentierelatie: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Regel 98:
;Stelling 3:Iedere partitie ''P'' van een verzameling ''X'' is de quotiëntverzameling van een equivalentierelatie op ''X'', namelijk van ~<sub>''P''</sub>.
(''Bewijs'') Zij ''P'' een partitie van ''X''. Uit hulpstelling 1 volgt dat ~<sub>''P''</sub> een equivalentierelatie is. We bewijzen in twee stappen dat ''X''/~<sub>''P''</sub> = ''P''. Neem ten eerste een willekeurige ''K'' <math>\in</math> ''P''. Omdat ''P'' een partitie is, is er een ''x'' <math>\in</math> ''K''. Uit hulpstelling 2 volgt dan dat ''K'' = [''x''], wat bewijst dat ''K'' <math>\in</math> ''X''/~<sub>''P''</sub> en dus dat ''P'' <math>\subseteq</math> ''X''/~<sub>''P''</sub>. Neem ten tweede een willekeurige [''x''] <math>\in</math> ''X''/~<sub>''P''</sub>. Omdat ''P'' een partitie is weten we dat er precies één ''K'' <math>\in</math> ''P'' is waarvoor geldt dat ''x'' <math>\in</math> ''K''. Uit hulpstelling 2 volgt dan wederom dat ''K'' = [''x''] en dus dat [''x''] <math>\in</math> ''P''. Dit betekent dat ''X''/~<sub>''P''</sub> <math>\subseteq</math> ''P'', waarmee bewezen is dat ''X''/~<sub>''P''</sub> = ''P''.
;Hoofdstelling van equivalentierelaties:Er is een [[Bijectie|één-op-één-correspondentie]] tussen alle equivalentierelaties op een verzameling ''X'' en alle partities van dezelfde verzameling ''X''.
| |||