|
(''Bewijs'') Zij ''x'' <math>\in</math> ''X''. Uit de reflexiviteit van ~ volgt dat ''x'' ~ ''x'', wat betekent dat ''x'' <math>\in</math> [''x''].
;Eigenschap 2:Voor alle ''x'', ''y'', ''z'' <math>\in</math> ''X'' geldt dat: als ''x'' thinsp;<math>\in</math>~ thinsp;[''y''] en ''x'' <math>\in</math> [''z''] dan [''yx''] = [''zy'']. Iedereen zitten ''x'' <math>\in</math> en ''Xy'' zit dus in ten hoogste ééndezelfde equivalentieklasse van ''X''.
(''Bewijs'') Zij ''x'', ''y'', ''z'' <math>\in</math> ''X'' zodanig dat ''x'' ~ ''y''. We nemen een willekeurig element ''u'' <math>\in</math> [''yx''] en bewijzen dat ''xu'' <math>\in</math> [''zy'']. Uit de definitie van ''equivalentieklasse'' volgt dan daten ''yu''&thinspnbsp;~<math>\in</math>&thinspnbsp;[''x''] envolgt dat ''zx'' ~ ''xu''. SymmetrieUit de symmetrie van ~ geeft vervolgensen ''x'' ~ ''zy'' volgt dat ''y'' ~ ''x''. Nu hebbenweten we dus dat ''y'' ~ ''x'' en ''x'' ~ ''zu'',. waarmeeOmdat uit~ detransitief transitiviteitis vanweten ~we afdan te leiden isook dat ''y'' ~ ''zu'', waaruit per definitie volgt dat ''u'' <math>\in</math> [''y'']. EigenschapDit 3bewijst geeftdat [''x''] <math>\subseteq</math> [''y'']. Op dezelfde manier, maar dan zonder symmetrie te gebruiken, is te vervolgensbewijzen dat [''y''] <math>\subseteq</math> [''x''], waaruit volgt dat [''x''] = [''zy'']. Omdat we uit eigenschap 1 weten dat ''x'' <math>\in</math> [''x''] en ''y'' <math>\in</math> [''y''], betekent dit dat ''x'' en ''y'' in dezelfde equivalentieklasse zitten.
;Eigenschap 3:Voor alle ''x'', ''y'', ''z'' <math>\in</math> ''X'' geldt: dat als ''x''&thinspnbsp;~<math>\in</math>&thinspnbsp;[''y''] en ''x'' <math>\in</math> [''z''] dan [''xy''] = [''yz'']. en zittenIedere ''x'' en <math>\in</math> ''yX'' zit dus in dezelfdeten hoogste één equivalentieklasse van ''X''.
(''Bewijs'') Zij ''x'', ''y'', ''z'' <math>\in</math> ''X'' zodanig dat ''x'' ~ ''y''. We nemen een willekeurig element ''u'' <math>\in</math> [''xy''] en bewijzen dat ''ux'' <math>\in</math> [''yz'']. Uit de definitie van ''equivalentieklasse'' envolgt dan dat ''uy'' thinsp;<math>\in</math>~ thinsp;[''x''] volgt daten ''xz'' ~ ''ux''. Uit de symmetrieSymmetrie van ~ engeeft vervolgens ''x'' ~ ''y'' volgt dat ''y'' ~ ''xz''. Nu wetenhebben we dus dat ''y'' ~ ''x'' en ''x'' ~ ''uz''., Omdatwaarmee ~uit transitiefde istransitiviteit wetenvan we~ danaf ookte leiden is dat ''y'' ~ ''uz'', waaruit per definitie volgt dat ''u'' <math>\in</math> [''y'']. DitEigenschap bewijst2 dat [''x''] <math>\subseteq</math> [''y'']. Op dezelfde manier, maar dan zonder symmetrie te gebruiken, is tegeeft bewijzenvervolgens dat [''y''] <math>\subseteq</math> [''x''], waaruit volgt dat [''x''] = [''yz'']. Omdat we uit eigenschap 1 weten dat ''x'' <math>\in</math> [''x''] en ''y'' <math>\in</math> [''y''], betekent dit dat ''x'' en ''y'' in dezelfde equivalentieklasse zitten.
;Eigenschap 4:Voor alle ''x'', ''y'' <math>\in</math> ''X'' geldt: als ''x'' en ''y'' in dezelfde equivalentieklasse zitten dan staan ''x'' en ''y'' met elkaar in ~-relatie.
;Gevolg 1:Iedere ''x'' <math>\in</math> ''X'' zit in precies één equivalentieklasse van ''X''.
(''Bewijs'') Dit volgt direct uit eigenschappen 1 en 23.
;Gevolg 2:Voor alle ''x'', ''y'' <math>\in</math> ''X'' geldt: ''x'' ~ ''y'' desda ''x'' en ''y'' in dezelfde equivalentieklasse zitten.
(''Bewijs'') Dit volgt direct uit eigenschappen 32 en 4.
== Quotiëntverzameling ==
| 