|
[[Afbeelding:Bump2D illustration.png|right|thumb|200px|Een [[bobbelfunctie]] is een gladde functie met een [[compacte drager]].]]
In de [[analyse]] is een '''differentieerbaarheidsklassegladde functie''' een classificatie van [[functie (wiskunde)|functie]]s aan de hand van de eigenschappen van de [[afgeleide]]s van deze functies. Hogere-orde differentieerbaarheidsklassen corresponderen met het bestaan van meer afgeleides. Functies die willekeurig vaak, zeg maar [[oneindigheid|oneindig]] vaak, [[afgeleide|differentieerbaar]] zijn worden '''glad''' genoemdis. DaarbijEen slaatgladde hetfunctie woordbehoort ''glad''daarmee op hoetot de grafieken er visueel uitziet: Dehoogdte [[Grafiek (wiskunde)|grafiekdifferentieerbaarheidsklasse]]. vanHet eenwoord oneindig"glad" differentieerbaredoelt functieop enhet daardoorgladde ookverloop, dezonder grafiekenknikken, van allede [[DifferentiaalrekeningGrafiek (wiskunde)|afgeleidengrafiek]] hebbenvan geen „hoeken“, dus zijn er geen plaatsen, op welke dezo'n functie niet differentieerbaar is.
==Differentieerbaarheidsklassen ==
Beschouw een [[open verzameling]] op de [[reële getallenlijn]] en een functie ''f'' gedefiniëerd op deze verzameling met reele waarden. Laat ''k'' een niet-negatief [[geheel getal]] zijn. Van de functie ''f'' zegt men dat deze van '''klasse ''C<sup>k</sup>''''' is, als de afgeleiden ''f<nowiki>'</nowiki>'', ''f<nowiki>''</nowiki>'', ..., ''f<sup>(k)</sup>'' bestaat en [[continue functie|continu]] zijn (de continuïteit is automatisch voor alle afgeleiden behalve de laatste, ''f<sup>(k)</sup>''). Van de functie ''f'' zegt men dat deze van '''klasse ''C<sup>∞</sup>''''', of '''glad''' is, wanneer de functie afgeleiden heeft van alle mogelijk ordes. Van ''f'' zegt men dat deze van '''klasse ''C<sup>ω</sup >''''', of '''[[analytische functie|analytisch]]''' is, als ''f'' glad is en als de functie gelijk is aan haar [[Taylorreeks]] expansie rond elk willekeurig punt in haar [[domein (wiskunde)|domein]].
Anders gezegd bestaat de klasse ''C<sup>0</sup>'' uit alle continue functies. De klasse ''C<sup>1</sup>'' bestaat uit alle differentieerbare functies, waarvan de afgeleide continu is; deze functies worden '''continu differentieerbaar''' genoemd. Een ''C<sup>1</sup>'' functie is exact gesproken een functie waarvan de afgeleide bestaat en van klasse ''C<sup>0</sup>'' is. In het algemeen kunnen de klassen ''C<sup>k</sup>'' [[recursie|recursief]] worden gedefinieerd door ''C<sup>0</sup>'' als de verzameling van alle continue functies te definieren en ''C <sup>k</sup>'' voor elk positief geheel getal ''k'' als de verzameling van alle differentieerbare functies te definiëren waarvan de afgeleide van klasse ''C<sup>k-1</sup>'' is. In het bijzonder maakt ''C<sup>k</sup>'' deel uit van ''C<sup>k-1</sup>'' voor elke ''k'', en er zijn voorbeelden die laten zien dat deze opsluiting strikt is. ''C<sup>∞</sup>'' is de [[doorsnede (verzamelingenleer)|doorsnede]] van de verzamelingen ''C<sup>k</sup>'' als ''k'' variëert over de niet-negatieve gehele getallen. ''C'<sup>ω</sup>'' is strikt genomen opgesloten in ''C<sup>∞</sup>''; voor een voorbeeld hiervan, zie de [[bobbelfunctie]], of ook hieronder.
==Voorbeelden==
De functie
:<math>f(x) = \begin{cases}x^2\sin{(1/x\tfrac 1x)} & \mbox{als }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{als }x = 0\end{cases}</math>
is differentieerbaar, met [[afgeleide]]
:<math>f'(x) = \begin{cases}-\cos{(1/x\tfrac 1x)} + 2x\sin{(1/x\tfrac 1x)} & \mbox{als }x \neq 0, \\ 0 &\mbox{als }x = 0.\end{cases}</math>
Omdat cos(1/''x'') oscilleert als ''x'' tot nul nadert, is ''f'' ’(''x'') niet continu op nul, Deze functie is daarom wel differentieerbaar, maar niet van differentieerbaarheidsklasse ''C<sup>1</sup>''. Als men verder ''f''(''x'')=''x<sup>3/2</sup>''sin(1/''x'') neemt, waar in dit voorbeeld geldt dat ''x'' ≠0, kan dit worden gebruikt om te laten zien dat de afgeleide functie van een differentieerbare functie onbegrensd kan zijn op een [[compacte verzameling]] en dat een differentieerbare functie op een compacte verzameling daarom niet lokaal [[Lipschitz-continuïteit|Lipschitz-continu]] hoeft te zijn.
| 