Nevenklasse: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
kGeen bewerkingssamenvatting |
k Aantal linkjes |
||
Regel 1:
In de [[groepentheorie]], een onderdeel van de
==Definitie==
Regel 5:
De '''linkernevenklasse''' van ''g'' ten opzichte van ''H'' is de verzameling producten van elementen van ''H'', links samengesteld met ''g'':
▲:<math>gH=\left\{g.h|h\in H\right\}</math>
▲De verzameling van alle linkernevenklassen van ''H'' in ''G'' noteert men gewoonlijk ''G/H''.
De '''rechternevenklasse''' van ''g'' ten opzichte van ''H'' is de verzameling producten van elementen van ''H'', rechts samengesteld met ''g'':
:<math>Hg=\{ hg | h \in H \}</math>
▲:<math>Hg=\left\{h.g|h\in H\right\}</math>
De verzameling van alle rechternevenklassen van ''H'' in ''G'' noteert men gewoonlijk ''G\H''.
:''G\H''
In een [[abelse groep]] zijn linker- en rechternevenklassen gelijk.
In een niet-abelse groep kunnen linker- en rechternevenklassen verschillen. De [[normalisator]] van ''H'' in ''G'' is de verzameling elementen van ''G'' waarvoor de desbetreffende linker- en rechternevenklasse identiek zijn.
Als de linker-en rechternevenklassen van een ondergroep ''H'' identiek zijn voor alle elementen ''g'' van ''G'', dan noemen we ''H'' een [[normaaldeler]] van ''G'' en we spreken kortweg van '''nevenklassen'''. In dat geval kunnen we ''G/H'' ook uitrusten met een [[groepsbewerking]] en spreken we van de [[factorgroep]] van ''G'' over ''H''.
In een abelse groep zijn alle ondergroepen normaaldelers.
Regel 33:
===Voorbeeld in een niet-abelse groep===
Beschouw de groep ''SO''(3) der [[rotatie (voorwerp)|rotaties]] van de reële driedimensionale [[ruimte (wiskunde)|ruimte]]. Dit is een [[
De linkernevenklasse ''rH'' bestaat uit alle rotaties die de ''Z''-as oriëntatiebewarend op de ''X''-as afbeelden. De rechternevenklasse ''Hr'' bestaat uit alle rotaties die de ''X''-as met omkering van de oriëntatie op de ''Z''-as afbeelden. Beide nevenklassen zijn verschillend, ze hebben zelfs maar één element gemeenschappelijk (namelijk ''r'' zelf).
De ondergroep ''H'' is geen normaaldeler van ''SO''(3). De [[normalisator]] van ''H'' in ''SO''(3) is ''H'' zelf.
==Cardinaliteit==
| |||