Universaliteit: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
Uitgebreid |
|||
Regel 1:
'''Universaliteit''' betekent in de [[wiskunde]] en [[logica]] dat een eigenschap voor alle elementen van een [[verzameling]] geldt. De bijbehorende '''universele kwantor''' (of '''al-kwantor''') wordt genoteerd als <math>\forall</math>.
De alkwantor bestaat uit drie delen:
* Declaratie van [[gebonden variabelen]];
* Specificatie van het [[domein]];
* Propositie.
Deze zullen hieronder uitvoeriger beschreven worden.
===Declaratie===
Het eerste gedeelte beschrijft de gebonden variabelen. Deze heten gebonden, aangezien deze alleen voor mogen komen binnen de haakjes van dit <math>\forall</math>-predikaat. Buiten de haakjes is de waarde van zo'n variabele ongedefinieerd en dus onbruikbaar. Hier mogen meerdere variabelen tegelijkertijd gedeclareerd worden, doorgaans gescheiden door komma's.
===Domein===
In dit gedeelte vormt een predikaat het domein over de gebonden variabelen. Zo kan je de beperking opleggen: <math>x \in \mathbb N</math>, dus in spreektaal: "voor alle natuurlijke getallen x".
Wanneer het domein leeg is, d.w.z. de propositie die het domein beschrijft levert "onwaar" op, levert het predikaat met de alkwantor altijd "waar" op, ongeacht de propositie die daarop volgt.
Soms wordt het domein ook weggelaten, dan wordt uitgegaan van het domein "waar".
===Propositie===
Hier volgt ook een propositie die iets over alle elementen uit het beschreven domein zegt. Er kunnen hier ook alkwantoren of existentiële kwantoren in voorkomen, zodat je een geneste structuur krijgt. Variabelen die gedeclareerd zijn, zijn bruikbaar in geneste kwantoren, maar niet andersom!
==Equivalentieregels==
Domeinverzwakking: <math>(\forall x : P \wedge Q : R) \Leftrightarrow (\forall x : P : Q \Rightarrow R)</math>
Domeinsplitsing: <math>(\forall x : P \or Q : R) \Leftrightarrow (\forall x : P : R) \wedge (\forall x : Q : R)</math>
De Morgan: <math>\neg (\forall x : P : Q) \Leftrightarrow (\exists x : P : \neg Q )</math> en <math>\neg (\exists x : P : Q) \Leftrightarrow (\forall x : P : \neg Q )</math>
Waarbij P, Q en R proposities zijn.
==Voorbeelden==
De volgende uitspraak is waar: voor alle [[geheel getal|gehele getallen]] ''z'' geldt dat <math> z^2 </math> een geheel getal is. Wiskundigen noteren:
| |||