Besselfunctie: verschil tussen versies

153 bytes toegevoegd ,  13 jaar geleden
enkele kl rechtzetting & aanvul
k (robot Erbij: fa:‫تابع بسل)
(enkele kl rechtzetting & aanvul)
'''Besselfuncties''' zijn oplossingen van de Besselse [[differentiaalvergelijking]]. Ze worden zo genoemd naar de wiskundige en astronoom [[Friedrich Wilhelm Bessel]], die de vergelijking uitwerkte. Hij deed dit met het doel de verstoring te berekenen die drie hemellichamen op elkaars baan uitoefenen; voorbereidend werk was door anderen gedaan, maar Bessels vergelijking was meer algemeen geldig. Er zijn twee soorten Besselfuncties: die van de eerste soort en van de n-de orde, Jn(x) genoteerd en die van de tweede soort en van de n-de orde, Yn(x) genoteerd.
 
De Besselvergelijking kan echter ook worden gebruikt om oplossingen te vinden voor de vergelijkingen van [[Laplace]] en van [[Helmholtz]], wanneer daarbij de coördinaten [[cilinder|cilindrisch]] of [[bol (lichaam)|sferisch]] zijn. Daardoor zijn Besselfuncties vooral van belang bij veel vraagstukken uit de wiskundige [[natuurkunde]], zoals vragen omtrent golfvoortplanting, statische spanning enzovoort. Enkele voorbeelden zijn:
* [[elektromagnetisme|elektromagnetische golven]] in een cilindrische golfgeleider
* [[warmte]]geleiding in een cilindervormig voorwerp
:<math>x^2y''(x)+xy'(x)+(x^2-n^2)y(x)=0\;</math>
 
Deze oplossingen worden gegeven door de [[complexe integraal]]:
 
:<math>J_{n}(x)=\frac{1}{2{\pi}i}\oint_{C}\frac{g(x,z)}{z^{n+1}}dz</math>
== Eigenschappen van de Besselfunctie ==
 
HetBesselfuncties is bewezen dat de Besselfunctiesvoldoen aan de volgende eigenschappen voldoen:
:<math>J_{n}(-x)=J_{-n}(x)=(-1)^nJ_{n}(x)\;</math>
 
en dat deDe volgende recursiebetrekkingen gelden:
 
:<math>J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=\frac{2n}{x}J_{n}(x)\;</math>
:<math>J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)=2J_{n}'(x)\;</math>
 
Een berekening leert dat de Besselfunctie van de eerste soort en van de nulde orde gegeven wordt door:
 
:<math>J_{0}(x)=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}dt\;</math>
7.238

bewerkingen