Limietcykel: verschil tussen versies
Verwijderde inhoud Toegevoegde inhoud
→Voorbeeld: Hier klopt nog helemaal niets van. |
Geen bewerkingssamenvatting |
||
Regel 1:
Let op! Ben nog aan het werk aan deze tekst. En ben de juiste afkorting vergeten. Over een uurtje is hij klaar [[Gebruiker:Oscar2|Oscar2]] 20 jan 2008 12:59 (CET)
[[Afbeelding:Limietcykel.PNG|thumb|300px|Stabiele limietcykel van een aangedreven slinger. De slinger krijgt steeds tijdens de heenweg een duwtje. Getekend zijn: de limietcykel (geel) en twee paden die naar de limietcykel convergeren (blauw en rose).]]▼
Een [[bifurcatietheorie|dynamisch systeem]] dat lang genoeg aan zichzelf wordt overgelaten komt vaak in een evenwichtstoestand (b.v. een rollende bal komt tot stilstand).
Een '''limietcykel''' is een [[periodiek]]e [[oplossing]] van een [[differentiaalvergelijking]]. In de [[bifurcatietheorie]] ([[dynamische systeemtheorie]], [[chaostheorie]]) wordt de limietcykel gebruikt om [[oscillatie]]s te beschrijven.▼
Het kan ook in een [[periodiek]]e "toestand" komen (b.v. de slinger van een klok). Het pad dat het systeem dan beschrijft in de toestandsruimte noem je een stabiele '''limietcykel'''.
De derde mogelijke toestand is [[chaos]] (b.v. de atmosfeer).
Een stabiele '''limietcykel''' heeft dus twee essentiële eigenschappen. Het is een periodieke toestand van het systeem. En het systeem convergeert naar die toestand voor alle begintoestanden in de buurt van de cykel. Wanneer het systeem zich van de cykel verwijderd is die cykel onstabiel.
Limietcykels ontstaan of verdwijnen door middel van [[Hopf bifurcatie]]s.▼
▲
▲Limietcykels ontstaan
De complexiteit van limietcykels verandert door [[periodeverdubbeling]]sbifurcaties.
[[Chaos]] ontstaat door een opeenhoping van periodeverdubbelingen.
==Voorbeelden==
▲[[Afbeelding:Limietcykel.PNG|thumb|300px|Stabiele limietcykel van een
Bekende voorbeelden van de '''limietcykel''' zijn .
Maar als illustratie gebruik ik het eenvoudige voorbeeld van een stabiele [[oscillatie]]: de [[slingerklok]]. De slinger maakt een periodieke beweging en blijft die volgen zo lang er energie is.
De toestand van dit systeem wordt beschreven door twee variabelen die veranderen in de tijd: de uitwijking (x) en de snelheid (v) van de slinger.
Je kunt dit systeem eenvoudig simuleren met een [[gedempte]] [[harmonische oscillator]] die op een vaste plek in zijn baan (op de heenweg) een duwtje krijgt.
Het resultaat zie je in de figuur. De twee variabelen (x en v) doorlopen een vervormde cirkel in de toestandsruimte (gele lijn). Dit is de limietcykel van het systeem.
Volg je de cykel dan neemt x periodiek toe en af. Dit beschrijft de beweging van de slinger.
De cykel is stabiel. Vanuit een toestand binnen de cykel convergeert het systeem naar de cykel toe (donkerblauwe lijn). Dit is het geval als de slinger eerst (bijna) stil hing.
Als de [[amplitude]] van de slingerbeweging om wat voor reden dan groter wordt (b.v. iemand stoot tegen de klok) convergeert het systeem ook terug naar de cykel (rose lijn).
==Omschrijving==
De
De oplossing van een differentiaalvergelijking bestaat uit een aantal variabelen, die samen de [[toestand]] van een systeem vormen, en die variëren in de tijd. Kijkt men naar de ruimte van die variabelen (de [[toestandsruimte]]), dan doorloopt de oplossing daarin een pad. Als het pad gesloten is vormt het een limietcykel. Het systeem doorloopt dit pad in een vaste tijd, de [[periode]].
Regel 17 ⟶ 40:
Het is duidelijk dat een systeem met limietcykels minstens twee variabelen heeft, anders lukt afbeelden in het platte vlak immers niet. Minder vanzelfsprekend is dat in het algemeen een limietcykel weer te geven is met twee goed gekozen systeemvariabelen.
[[categorie:Systeemtheorie]]
| |||