Taylorreeks

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een taylorreeks of taylorontwikkeling de voorstelling of benadering van een functie als een machtreeks waarvan de coëfficiënten worden berekend uit de waarden van de afgeleiden van deze functie in een bepaald punt.

Taylorreeksontwikkeling van $\ln x$ (resp. 1, 2, 3, en 10 termen)

Het concept van een taylorreeks werd door de Schotse wiskundige James Gregory ontdekt en in 1715 formeel geïntroduceerd door de Engelse wiskundige Brook Taylor. Wanneer de taylorreeks is gecentreerd rondom nul, noemt men deze reeks ook wel een maclaurin-reeks, dit naar de Schotse wiskundige Colin Maclaurin, die in de 18e eeuw op grote schaal gebruik maakte van taylorreeksen.

Het is gebruikelijk een functie te benaderen door een eindig aantal termen van haar taylorreeks te gebruiken. De stelling van Taylor geeft kwantitatieve schattingen van de fout in deze benadering. Elk eindig aantal van initiële termen van de taylorreeks van een functie wordt een taylorpolynoom genoemd. De taylorreeks van een functie is de limiet van de taylorpolynomen van die functie, als deze limiet tenminste bestaat. Een functie hoeft niet gelijk te zijn aan haar taylorreeks, zelfs als de taylorreeks van deze functie op ieder punt convergeert. Een functie die in een open interval (of een schijf in het complexe vlak) gelijk is aan zijn eigen taylorreeks, staat bekend als een analytische functie.

Definitie

De taylorreeks van een reëel- of complexwaardige functie $f$ die oneindig vaak differentieerbaar is in een reëel- of complex getal $a$, is de machtreeks

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

waarin $n!$ de faculteit van $n$ aangeeft en $f^{(n)}(a)$ staat voor de $n$-de afgeleide van $f$ in het punt $a$. De afgeleide van orde nul wordt gedefinieerd als de functie zelf. In het geval dat $a=0$ spreekt men ook wel van de maclaurinreeks.

Analytische functie

Als een functie in een omgeving van het ontwikkelingspunt $x_{0}$ gelijk is aan de reekssom van haar taylorreeks, wordt ze analytisch in $x_{0}$ genoemd. Een functie die analytisch is in alle punten van haar domein, heet kortweg analytisch. Voorbeelden van zulke functies zijn de goniometrische functies sinus en cosinus en de exponentiële functie.

Van een analytische functie kunnen alle waarden in een samenhangende omgeving van een punt bepaald worden uit de functiewaarde en de waarde van alle afgeleiden in dat ene punt. Dat wil nog niet zeggen dat de taylorreeks convergeert in alle waarden $x$ uit die omgeving, zoals blijkt uit het volgende voorbeeld.

$f(x)={1 \over 1+x^{2}},\ x\in \mathbb {R}$

De functie $f$ is analytisch in haar hele domein. Haar taylorreeks in het punt $x_{0}=0$

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots$

convergeert evenwel slechts voor $x$ strikt tussen −1 en +1.

Complexe functie

Ook voor complexe functies bestaat het begrip taylorreeks. Een complexe functie waarvan de eerste afgeleide bestaat, heet een holomorfe functie. Differentieerbaarheid voor complexe functies is een dusdanig sterke eis, dat van een holomorfe functie ook alle hogere afgeleiden bestaan. De taylorreeks van een differentieerbare functie $f(z)$ voor complexe $z$ met $|z-z_{0}|<r$ is:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}$ voor $|z-z_{0}|<r.$

Ontwikkelingen

Binomiaalontwikkeling rond 0

$(1+x)^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)}{2!}}x^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}x^{3}+\ldots +nx^{n-1}+x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}$

Reeksontwikkeling van exponentiële en logaritmische functies rond 0

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\ldots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$

$a^{x}=e^{ln(a)x}=1+x\ln(a)+{\frac {(x\ln(a))^{2}}{2!}}+{\frac {(x\ln(a))^{3}}{3!}}+\ldots \,$ met $a\in \mathbb {R} _{>0}$

$\ln(1+x)=x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}x^{n+1}\,$ met $-1<x\leq 1$

Reeksontwikkeling van goniometrische functies rond 0

$\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots$

$\cos(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots$

$\tan(x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\ldots$

$\sec(x)=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\ldots$

$\arcsin(x)=x+{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots$

$\arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {1}{2}}{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {1}{2}}{\frac {3}{4}}{\frac {5}{6}}{\frac {x^{7}}{7}}-\ldots$

$\arctan(x)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\ldots$ voor $|x|\leq 1$

De reële functie $x\mapsto \arctan(1/x)$ heeft niet als dusdanig een reeksontwikkeling in $x=0$, omdat ze daar een discontinuïteit heeft (linkerlimiet en rechterlimiet verschillen één gestrekte hoek). Door functiewaarden te beschouwen op een geheel veelvoud van $\pi$ na, kan toch een soort reeksontwikkeling geschreven worden:

$\arctan(1/x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3x^{3}}}-{\frac {1}{5x^{5}}}+{\frac {1}{7x^{7}}}+\ldots$ voor $x^{2}>1$

Reeksontwikkeling van hyperbolische functies rond 0

${\begin{aligned}\sinh(x)&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\cosh(x)&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\\\tanh(x)&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth(x)&={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots &&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},&&0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} \,(x)&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},&&\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} \,(x)&={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots &&={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},&&0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}$

Zie ook

• Stelling van Taylor
• Benadering
• Rij van Mercator
• Formule van Euler