Stelling van von Staudt-Clausen

De stelling van von Staudt-Clausen is een stelling uit de getaltheorie over de Bernoulligetallen. De stelling is genoemd naar Karl von Staudt en Thomas Clausen, die ze onafhankelijk van elkaar formuleerden in 1840.

De stelling zegt dat, als bij het Bernouilligetal $B_{n}$ met positieve even index $n$ de reciproquen van alle priemgetallen $p$ optelt waarvoor $p-1$ een deler is van $n$, men een geheel getal verkrijgt:

$B_{n}+\sum _{(p-1)|n}{\frac {1}{p}}\quad \in \mathbb {Z}$

Bijgevolg kan men de Bernouilligetallen $B_{2k}(k\geq 1)$ uitdrukken als:

$B_{2k}=A_{2k}-\sum _{(p-1)|2k}{\frac {1}{p}}$

waarin $A_{2k}$ een geheel getal is.

Hieruit blijkt dat de noemer van het Bernouilligetal $B_{n}$ gelijk is aan het product van alle priemgetallen $p$ waarvoor $p-1$ een deler is van $n$. Deze noemers zijn kwadraatvrij en steeds een veelvoud van zes, vermits de priemgetallen 2 en 3 in elke som voorkomen.

De gehele getallen $A_{2k}$ voor $k=1,2,3,\ldots$ zijn:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, −6, 56, −528, ...

Voorbeelden

$B_{6}=1-\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{7}}\right)={\frac {1}{42}}$

$B_{12}=1-\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{13}}\right)=-{\frac {691}{2730}}$

Externe links

• (en) MathWorld, von Staudt-Clausen Theorem.

Bronnen, noten en/of referenties