Stelling van Riesz-Fischer

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is de oorspronkelijke vorm van de stelling van Riesz-Fischer een stelling over een eigenschap van de L2-ruimte van kwadratische integreerbare functies. De stelling werd in 1907 onafhankelijk van elkaar bewezen door Frigyes Riesz en Ernst Sigismund Fischer.

In de literatuur komen inmiddels varianten en generalisaties van deze stelling voor.

Klassieke vorm bewerken

Als   een orthonormaal stelsel is in   en   een rij reële getallen, dan convergeert de reeks   dan en slechts dan als er een functie   is zodanig dat voor iedere   geldt

 

Dit oorspronkelijke resultaat van Riesz is nu een speciaal geval van basisfeiten over reeksen orthogonale vectoren in hilbertruimten.

Moderne vorm bewerken

De huidig gebruikelijke vorm van de stelling zegt dat een meetbare functie op het interval   dan en slechts dan kwadratisch integreerbaar is, als de bijbehorende fourierreeks convergeert in de  -norm.

Dat houdt in dat voor een kwadratisch integreerbare functie   de partiële sommen

 

van de fourierreeks van  , waarin   de  -de fouriercoëfficiënt is:

 

in  -norm convergeren naar  , dus

 

En omgekeerd, dat als   een tweezijdige rij complexe getallen is, waarvoor

 ,

er een kwadratisch integreerbare functie   bestaat, waarvan de getallen   de fouriercoëfficiënten zijn.

Deze vorm van de stelling van Riesz–Fischer is sterker dan de ongelijkheid van Bessel, en kan gebruikt worden om de gelijkheid van Parseval voor fourierreeksen te bewijzen.