Stelling van Lagrange (groepentheorie)

groepentheorie

In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, legt de stelling van Lagrange een verband tussen de orde van een eindige groep en die van de ondergroepen ervan. De stelling zegt dat de orde van een groep kan worden gedeeld door de van de orde van de ondergroepen van . Anders gezegd: het aantal elementen van de groep is een geheel veelvoud van het aantal elementen van een ondergroep. De stelling is naar Joseph-Louis Lagrange genoemd.

Definitie bewerken

Zij   een eindige groep en   een ondergroep van  . Volgens de stelling van Lagrange kan de orde van   door de orde van   worden gedeeld, anders gezegd is het aantal elementen in   altijd een heel, positief veelvoud   van het aantal elementen in  .

Veronderstel dat   een groep met   elementen is en dat de orde van de ondergroep   van   gelijk aan   is.

 
 

Dan is   door   te delen.

Bewijs 

De rechter nevenklasse van   in   voor een willekeurige   is

 .

dus  .

Wanneer   is  .

Wanneer   is  . Dan is  , omdat   een groep is. Bijvoorbeeld  , dan is   en dat is in tegenspraak met de veronderstelling.

Vergelijk twee rechter nevenklassen   en   met elkaar. Veronderstel dat er een   is, zodat   en  . Dan zijn er twee   en  , zodat  . Noem  , dan is  , dus is  .

Wanneer  , is  .

Ieder element   is vanzelf element van een rechter nevenklasse van   in  . Het aantal elementen in iedere rechter nevenklasse van   is  . Dus is   door   te delen.

Dit bewijs is geleverd met rechternevenklassen, maar kan op dezelfde manier met de linkernevenklassen worden gegeven.

Voorbeelden bewerken

  •   is gelijk aan het aantal nevenklassen van   in  , oftewel   is. Deze waarde   noemt men de index van   in   en wordt genoteerd als:
 
  • De orde van de alternerende groep   is 12, dus kan 12 door de orde van alle mogelijk ondergroepen van   worden gedeeld. Het is niet gezegd dat alle getallen  , zodat 12 door   kan worden gedeeld, als de orde van een ondergroep van   voorkomen.   heeft bijvoorbeeld geen ondergroep waarvan de orde 6 is, maar overigens wel ondergroepen van de orde 1, 2, 3, 4 en 12.

Websites bewerken