Savić doorliep alle jeugdreeksen van de Servische topclub Partizan Belgrado waarna hij op interesse kon rekenen van meerdere Europese clubs. Op 5 oktober 2012 raakte bekend dat hij bij AA Gent een profcontract tekende voor één seizoen met de optie op een extra contractjaar. Op zondag 8 juli 2018 tekende Milan een driejarig contract bij Kv Mechelen.
Tijdens de play-offs van het seizoen 2012/2013 was de laatste kwalificatiewedstrijd in play-off A mathematisch onnodig om de winnaar van play-off B te treffen. Daarom besliste coach Víctor Fernández om Savić een kans te geven in de centrale defensie. Hij speelde de volledige wedstrijd.
.svg){kind=small}