Een lineaire differentiaalvergelijking van eerste orde is een speciaal geval van een lineaire differentiaalvergelijking , die in de vorm
d
y
d
x
+
p
(
x
)
⋅
y
=
q
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)\cdot y=q(x)}
geschreven kan worden, met
p
(
x
)
{\displaystyle p(x)}
q
(
x
)
{\displaystyle q(x)}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
De algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking
d
y
d
x
+
p
(
x
)
⋅
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p(x)\cdot y=0}
is
y
(
x
)
=
K
exp
(
−
∫
c
x
p
(
ξ
)
d
ξ
)
{\displaystyle y(x)=K\exp \left(-\int _{c}^{x}p(\xi )\,\mathrm {d} \xi \right)}
en een particuliere oplossing is
y
(
x
)
=
∫
c
x
q
(
ξ
)
exp
(
−
∫
ξ
x
p
(
η
)
d
η
)
d
ξ
{\displaystyle y(x)=\int _{c}^{x}q(\xi )\,\exp \left(-\int _{\xi }^{x}p(\eta )\,\mathrm {d} \eta \right)\,\mathrm {d} \xi }
met
c
{\displaystyle c}
Indien
p
{\displaystyle p}
lineair tijdinvariant continu systeem , LTC-systeem, met
x
{\displaystyle x}
eerste-ordesysteem ).
De algemene oplossing van de bijbehorende homogene differentiaalvergelijking
d
y
d
x
+
p
⋅
y
=
0
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+p\cdot y=0}
is
y
(
x
)
=
K
e
−
p
x
{\displaystyle y(x)=Ke^{-px}}
exponentiële afname of exponentiële groei )en de particuliere oplossing met
y
(
c
)
=
0
{\displaystyle y(c)=0}
y
(
x
)
=
∫
c
x
q
(
ξ
)
e
−
p
(
x
−
ξ
)
d
ξ
=
∫
c
x
q
(
ξ
)
e
p
(
ξ
−
x
)
d
ξ
{\displaystyle y(x)=\int _{c}^{x}q(\xi )\,e^{-p(x-\xi )}\,\mathrm {d} \xi =\int _{c}^{x}q(\xi )\,e^{p(\xi -x)}\,\mathrm {d} \xi }
met
c
{\displaystyle c}
q
{\displaystyle q}
convolutie van q en de impulsrespons (
e
−
p
x
{\displaystyle e^{-px}}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Oplossingsmethoden
bewerken
De oplossingsmethode kan op diverse manieren beschreven worden. Een mogelijke oplossingsmethode bestaat uit het omvormen tot twee differentiaalvergelijkingen die elk apart worden opgelost met de methode van scheiden van veranderlijken .
Zoek een zogenaamde integratiefactor
r
(
x
)
{\displaystyle r(x)}
r
⋅
p
(
x
)
=
d
r
d
x
{\displaystyle r\cdot p(x)={\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} x}}}
Vermenigvuldig de beide leden van de differentiaalvergelijking met
r
{\displaystyle r}
r
d
y
d
x
+
r
⋅
p
(
x
)
⋅
y
=
r
⋅
q
(
x
)
{\displaystyle r\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+r\cdot p(x)\cdot y=r\cdot q(x)}
oftewel:
r
d
y
d
x
+
y
d
r
d
x
=
r
⋅
q
(
x
)
{\displaystyle r\,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+y\,{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} x}}=r\cdot q(x)}
dus
d
(
r
y
)
d
x
=
r
⋅
q
(
x
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (ry)}{\mathrm {d} x}}=r\cdot q(x)}
Los eerst de vergelijking voor
r
{\displaystyle r}
r
′
r
=
p
(
x
)
{\displaystyle {\frac {r'}{r}}=p(x)}
zodat na integratie:
r
(
x
)
=
C
⋅
exp
(
∫
p
(
x
)
d
x
)
{\displaystyle r(x)=C\cdot \exp \left(\int p(x)\,\mathrm {d} x\right)}
De integratieconstante
C
{\displaystyle C}
Dan volgt voor
y
{\displaystyle y}
y
=
1
r
(
x
)
[
∫
r
(
x
)
q
(
x
)
d
x
+
K
]
{\displaystyle y={\frac {1}{r(x)}}\left[\int r(x)q(x)\,\mathrm {d} x+K\right]}
De differentiaalvergelijking:
d
y
d
x
−
3
y
x
=
x
4
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}-3{\frac {y}{x}}=x^{4}}
is lineair van eerste orde. Voor de integratiefactor geldt:
d
r
d
x
=
−
3
r
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} x}}=-3{\frac {r}{x}}}
Met als oplossing:
r
=
x
−
3
{\displaystyle r=x^{-3}}
De algemene oplossing is dus:
y
(
x
)
=
x
3
[
∫
x
−
3
x
4
d
x
+
K
]
=
x
3
(
1
2
x
2
+
K
)
{\displaystyle y(x)=x^{3}\left[\int x^{-3}x^{4}\,\mathrm {d} x+K\right]=x^{3}({\tfrac {1}{2}}x^{2}+K)}
![{\displaystyle y={\frac {1}{r(x)}}\left[\int r(x)q(x)\,\mathrm {d} x+K\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92fec05a42aca31a3b4219ef8739ab825e3dfcd3)
![{\displaystyle y(x)=x^{3}\left[\int x^{-3}x^{4}\,\mathrm {d} x+K\right]=x^{3}({\tfrac {1}{2}}x^{2}+K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa8c5209741260e692a32cae33864c607342995c)