Laguerre-polynoom

In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), oplossingen van de $n$-de differentiaalvergelijking van Laguerre:

De eerste 5 laguerre-polynomen.

$xy''+(1-x)y'+ny=0,\,\qquad n=0,1,2,3\ldots$

Laguerre-polynomen vinden toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.

Definitie

De $n$-de laguerre-polynoom $L_{n}(x)$ is een polynoom van de graad $n$ die gegeven wordt door de rodriguez-formule:

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}(x^{n}e^{-x})$

Voor de zo gedefinieerde laguerre-polynomen geldt:

$L_{n}(0)=1$

Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij $n$-de laguerre-polynoom een factor $n!$ ($n$ faculteit) groter is.

De eerste laguerre-polynomen zijn:

$n$	$L_{n}(x)$
0	$1$
1	$-x+1$
2	${\tfrac {1}{2}}(x^{2}-4x+2)$
3	${\tfrac {1}{6}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)$
4	${\tfrac {1}{24}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)$
5	${\tfrac {1}{120}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)$
6	${\tfrac {1}{720}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)$

Recursie

Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:

$(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)$

en

$xL_{n}'(x)=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)$

Orthogonaliteit

Laguerre-polynomen vormen een orthonormaal stelsel met betrekking tot het inproduct:

$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x$

Er geldt:

$\langle L_{m},L_{n}\rangle =\delta _{m,n}$

met

$\delta$ de kronecker delta

Contourintegraal

De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:

$L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-xz/(1-z)}}{(1-z)\,z^{n+1}}}\,\mathrm {d} z$

Gegeneraliseerde laguerre-polynomen

De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking

$xy''+(\alpha +1-x)y'+ny=0$

worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.

De formule van Rodriguez voor deze polynomen is

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)$

De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:

$L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x)$

De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:

${\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+\alpha +1\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}$

Externe links

• (en) Laguerre polynomen op PlanetMath
• (en) Laguerre polynomen op MathWorld