Lagrange-polynoom

Lagrange-polynomen worden in de numerieke wiskunde gebruikt om van een onbekende functie waarvan maar in een eindig aantal punten $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ de functiewaarde bekend is, de waarde in tussengelegen punten kan worden geïnterpoleerd. Hierbij wordt een lineaire combinatie van polynomen gebruikt, de lagrange-polynomen. Deze polynomen horen bij de punten $x_{i}$, en wel zo dat het $i$-de polynoom $\ell _{i}$ de waarde 1 heeft in het punt $x_{i}$ en de waarde 0 in de overige punten. De coëfficiënten van de lineaire combinatie zijn dan juist de bekende functiewaarden in de betreffende punten. De functiewaarde van de lineaire combinatie in een tussengelegen punt $x$, is een benadering van de onbekende functiewaarde in $x$.

De lagrange-polynomen zijn naar Joseph-Louis Lagrange genoemd, maar werden voor het eerst in 1779 door Edward Waring beschreven en in 1783 door Leonhard Euler herontdekt.

Definitie

De lagrange-polynomen, die bij de $n+1$ punten $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ horen, zijn de $n+1$ polynomen $\ell _{i}$ van de graad $n$, gedefinieerd door

$\ell _{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}.$

Eigenschappen

Voor het lagrange-polynoom $\ell _{i}$ geldt:

$\ell _{i}(x_{i})=1$

en

$\ell _{i}(x_{k})=0,\quad {\text{voor }}k\neq i$.

Het lagrange-polynoom $\ell _{i}$ is het unieke $n$-de-graadspolynoom dat aan de bovenstaande eigenschap voldoet, dat wil zeggen

$\ell _{i}(x)=\sum _{k=0}^{n}\lambda _{jk}x^{k}$

is de unieke oplossing van het stelsel van lineaire vergelijkingen

$\sum _{k=0}^{n}\lambda _{jk}x_{i}^{k}=\delta _{ij}$

waarbij $\delta _{ij}$ het symbool is voor de kroneckerdelta.

Toepassing

Als van de functie $f$ de functiewaarde in de $n+1$ punten $x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}$ bekend is, kan $f$ door het $n$-de-graadspolynoom

$L(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\ell _{i}(x)$

worden benaderd.